جواب فعالیت صفحه ۹۰ حسابان (2)

جدول را با محاسبه‌ی مشتق \(f(x)=x^2\) در هر نقطه‌ی داده‌شده کامل می‌کنیم. مشتق در نقطه‌ی \(a\) از تعریف زیر به دست می‌آید:

\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

محاسبه‌ی مشتق در نقاط خالی جدول:

\[f'\left(\tfrac{1}{2}\right)=\lim_{x\to \frac{1}{2}}\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=\lim_{x\to \frac{1}{2}}\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}=\lim_{x\to \frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)=1\]

\[f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=\lim_{x\to -1}(x-1)=-2\]

\[f'(-3)=\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-6\]

جدول کامل‌شده:

با توجه به جدول، می‌بینیم که برای \(f(x)=x^2\) داریم \(f'(x)=2x\). بنابراین مشتق در هر نقطه‌ی \(x\) برابر دو برابر همان \(x\) است.