جواب بدون عنوان صفحه ۹۰ حسابان (2)

از جدول و محاسبه‌های کتاب می‌بینیم که مشتق تابع \(f(x)=x^2\) در هر نقطه‌ای که بررسی کردیم، عددی حقیقی شده است:

\[f'(2)=4,\quad f'(\sqrt{3})=2\sqrt{3},\quad f'\left(\tfrac{1}{2}\right)=1,\quad f'(0)=0,\quad f'(-1)=-2,\quad f'(-2)=-4,\quad f'(-3)=-6\]

اگر به ستون‌ها نگاه کنیم، می‌بینیم که مقدار مشتق همیشه دو برابر خود \(x\) است:

\[f'(x)=2x\]

پس حدس می‌زنم که مشتق تابع \(f(x)=x^2\) در همه نقاط حقیقی موجود است.

برای اطمینان، این حدس را با حد بررسی می‌کنیم:

\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x\]

این حد برای هر \(x\) حقیقی وجود دارد، پس:

\[f'(x)=2x \quad \text{برای هر } x\in\mathbb{R}\]

و مشتق تابع \(f(x)=x^2\) در تمام نقاط دامنه‌اش موجود است.