جواب کار در کلاس صفحه ۸۰ حسابان (2)

الف) ابتدا مشتق را با تعریف حد محاسبه می‌کنیم، مانند مثال صفحهٔ ۷۸.

برای \(f'(5)\):
\[f'(5)=\lim_{h\to 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-(5+h)^2+10(5+h)-25}{h}\]
\[=\lim_{h\to 0}\frac{-25-10h-h^2+50+10h-25}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(-h)=0\]

برای \(f'(8)\):
\[f'(8)=\lim_{h\to 0}\frac{f(8+h)-f(8)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-(8+h)^2+10(8+h)-16}{h}\]
\[=\lim_{h\to 0}\frac{-64-16h-h^2+80+10h-16}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h^2-6h}{h}=\lim_{h\to 0}(-h-6)=-6\]

پس \(f'(5)=0\) و \(f'(8)=-6\).

ب) برای هر \(a\) به همین روش داریم:
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{-(a+h)^2+10(a+h)-(-a^2+10a)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-2ah-h^2+10h}{h}=\lim_{h\to 0}(-2a-h+10)=-2a+10\]

می‌خواهیم \(f'(a)=-f'(b)\) باشد، یعنی \(-2a+10=2b-10\) و از آنجا \(a+b=10\).

مثلاً \(a=4\) و \(b=6\):
\[f'(4)=-8+10=2,\qquad f'(6)=-12+10=-2\]
پس نقاط \((4,f(4))=(4,24)\) و \((6,f(6))=(6,24)\) روی منحنی، مقدارهای مشتق قرینهٔ یکدیگر دارند.

پ) با توجه به \(f'(x)=-2x+10\):

• اگر \(x<5\) آنگاه \(-2x+10>0\)، یعنی مشتق مثبت است. در شکل، منحنی از \(x=0\) تا \(x=5\) صعودی است و خط‌های مماس شیب مثبت دارند (مثلاً نقاط \(A\) و \(E\)).
• در \(x=5\) (نقطهٔ \(C\)) مشتق صفر است و خط مماس افقی است.
• اگر \(x>5\) آنگاه \(-2x+10<0\)، یعنی مشتق منفی است. در شکل، منحنی از \(x=5\) تا \(x=10\) نزولی است و خط‌های مماس شیب منفی دارند (مثلاً نقطهٔ \(B\) به بعد).

ت) از روی شکل، شیب خط مماس در نقطهٔ \(x=3\) از شیب خط مماس در نقطهٔ \(x=4\) بیشتر است، زیرا منحنی در \(x=3\) تندتر بالا می‌رود و هر دو شیب مثبت‌اند. یعنی:
\[0<f'(4)<f'(3)\]

ث) برای \(f'(3)\):
\[f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{-(3+h)^2+10(3+h)-21}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h^2-4h}{h}\cdot(-1)\ \text{است}\]
با محاسبهٔ دقیق:
\[-(3+h)^2+10(3+h)-21=-9-6h-h^2+30+10h-21=-h^2+4h\]
پس
\[f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{-h^2+4h}{h}=\lim_{h\to 0}(-h+4)=4\]

برای \(f'(4)\):
\[-(4+h)^2+10(4+h)-24=-16-8h-h^2+40+10h-24=-h^2+2h\]
پس
\[f'(4)=\lim_{h\to 0}\frac{-h^2+2h}{h}=\lim_{h\to 0}(-h+2)=2\]

چون \(f'(3)=4\) و \(f'(4)=2\)، پس \(f'(3)>f'(4)>0\). این نتیجه با حدس قسمت (ت) یکی است.