جواب کار در کلاس صفحه ۸۰ حسابان (2)

برای اثبات تساوی، از تغییر متغیر راهنمایی استفاده می‌کنیم.

قرار می‌دهیم:
\[a+h=x \Rightarrow h=x-a\]

حال اگر \(h\to 0\) باشد، آنگاه \(x=a+h\to a\) است. پس وقتی \(h\) به صفر نزدیک می‌شود، \(x\) به \(a\) نزدیک می‌شود.

صورت و مخرج کسر را بر حسب \(x\) می‌نویسیم:
\[f(a+h)=f(x), \qquad h=x-a\]

بنابراین:
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

چون با تغییر متغیر، عبارت زیر حد فقط با نام متغیر عوض شده و مقدار آن تغییر نکرده است، و چون فرض کردیم \(f'(a)\) موجود است، پس دو حد برابرند و داریم:
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]