جواب کار در کلاس صفحه ۵۱ حسابان (2)

الف) تابع \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) را در نظر می‌گیریم. در نمودار سمت راست، هر دو شاخهٔ منحنی در دو طرف محور \(y\) به سمت بالا میل می‌کنند. بنابراین با نزدیک شدن \(x\) به صفر از دو طرف، مقدار \(f(x)\) بدون محدودیت بزرگ می‌شود.

با توجه به قضیهٔ ۱ و چون \(2\) عددی زوج است، داریم:
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^2}=+\infty\]

با توجه به قضیهٔ ۲، چون حدهای یک‌طرفه برابر \(+\infty\) هستند، حد تابع نیز برابر \(+\infty\) است:
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]

ب) تابع \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) را در نظر می‌گیریم. در نمودار سمت چپ، وقتی \(x\) از سمت راست به صفر نزدیک می‌شود، شاخهٔ ربع اول به سمت بالا میل می‌کند. وقتی \(x\) از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود، شاخهٔ ربع سوم به سمت پایین میل می‌کند.

با توجه به قضیهٔ ۱ و چون \(1\) عددی فرد است، داریم:
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\]

حدهای یک‌طرفه با هم برابر نیستند، پس طبق قضیهٔ ۲ حد تابع در \(x=0\) وجود ندارد:
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ \text{وجود ندارد}\]