جواب کار در کلاس صفحه ۵۳ حسابان (2)

حل:

الف) وقتی \(x\) در همسایگی راست \(-2\) باشد، \(x+2\) مقداری مثبت است و به صفر میل می‌کند. همچنین \(\lim_{x\to -2^{+}}(1-x)=1-(-2)=3\). پس طبق بند (الف) قضیه فوق:
\[\lim_{x\to -2^{+}}\frac{1-x}{x+2}=+\infty\]

ب) وقتی \(x\) در همسایگی چپ \(2\) باشد، \([x]=1\) است. پس حد صورت کسر برابر است با:
\[\lim_{x\to 2^{-}}\big([x]-2\big)=1-2=-1\]
و مخرج کسر \(x-2\) در همسایگی چپ \(2\) مقداری منفی است و به صفر میل می‌کند. از آنجا که \(L=-1<0\) و مقادیر مخرج منفی‌اند، طبق بند (ت) قضیه فوق:
\[\lim_{x\to 2^{-}}\frac{[x]-2}{x-2}=+\infty\]

پ) حد صورت و مخرج هر دو برابر صفر است، پس ابتدا صورت را تجزیه می‌کنیم و کسر را بر \(x-1\) ساده می‌کنیم (چون \(x\neq 1\)):
\[\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+1}{x-1}\]
حد صورت کسر جدید برابر \(1+1=2\) است و وقتی \(x\) در همسایگی راست \(1\) باشد، مخرج \(x-1\) مثبت است و به صفر میل می‌کند. پس طبق بند (الف) قضیه فوق:
\[\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}=+\infty\]