جواب کار در کلاس صفحه ۴۷ حسابان (2)

الف) مقدار \(f(x)=\frac{1}{x}\) را برای هر \(x\) حساب می‌کنیم:

\[f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2\]

\[f(-0/2)=\frac{1}{-0/2}=\frac{1}{-\frac{1}{5}}=-5\]

\[f(-0/1)=\frac{1}{-0/1}=-10\]

\[f(-0/0001)=\frac{1}{-0/0001}=-10000\]

\[f(-0/00001)=\frac{1}{-0/00001}=-100000\]

جدول کامل:

ب) می‌خواهیم \(\frac{1}{x}<-10^6\) باشد. چون \(x\) منفی است، با ضرب دو طرف در \(x\) (که منفی است) نامساوی جهت عوض می‌شود:

\[1>-10^6\,x\]

و با تقسیم بر \(-10^6\) (که منفی است) دوباره جهت عوض می‌شود:

\[x>-\frac{1}{10^6}=-0/000001\]

پس باید \(x\) عددی منفی باشد که از \(-10^{-6}\) بزرگ‌تر و به صفر نزدیک‌تر باشد:

\[-10^{-6}<x<0\]

برای مثال \(x=-0/0000005\) قابل قبول است، زیرا \(f(x)=-2\,000\,000\) که از \(-10^6\) کوچک‌تر است.

پ) وقتی \(x\) از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود، مقدار \(f(x)\) منفی است و هر قدر \(x\) به صفر نزدیک‌تر شود، قدر مطلق \(f(x)\) بیشتر می‌شود. یعنی \(f(x)\) بدون هیچ محدودیتی کاهش می‌یابد و به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود.

ت) همان‌طور که در قسمت‌های قبل دیدیم، وقتی \(x\) از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود، مقدار تابع از هر عدد منفی دلخواهی کوچک‌تر می‌شود. پس می‌نویسیم:

\[\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\]

❖ این نماد نشان می‌دهد که حد موجود نیست، زیرا مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی‌شود. \(-\infty\) فقط یک نماد است که نشان می‌دهد مقدار تابع از هر عدد منفی‌ای می‌تواند کوچک‌تر شود.