جواب کار در کلاس صفحه ۶۸ حسابان (2)

برای اینکه خط \(y=2\) مجانب افقی باشد، باید حداقل یکی از حدهای \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=2\) یا \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=2\) برقرار باشد. پس برای هر نمودار، رفتار منحنی را در دو انتها (\(x\to-\infty\) و \(x\to+\infty\)) بررسی می‌کنیم.

پ) برای \(x\le 0\) نمودار خط افقی \(y=2\) است، یعنی:
\[\lim_{x\to-\infty} f(x)=2\]
پس خط \(y=2\) مجانب افقی است.

ب) در سمت چپ، شاخه‌ی منحنی به سمت خط \(y=2\) نزدیک می‌شود، و در سمت راست هم با افزایش \(x\) مقدار \(y\) به \(2\) نزدیک می‌شود:
\[\lim_{x\to-\infty} f(x)=2,\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=2\]
پس خط \(y=2\) مجانب افقی است.

ت) وقتی \(x\) به سمت \(-\infty\) میل می‌کند، منحنی به خط \(y=2\) نزدیک می‌شود:
\[\lim_{x\to-\infty} f(x)=2\]
پس خط \(y=2\) مجانب افقی است.

الف) در سمت راست، منحنی با افزایش \(x\) به سمت بالا می‌رود و از \(y=2\) دور می‌شود، پس \(\lim_{x\to+\infty} f(x)\neq 2\). در سمت چپ هم منحنی به سمت پایین می‌رود و به \(2\) نزدیک نمی‌شود. بنابراین خط \(y=2\) مجانب افقی نیست.

ث) نمودار فقط برای \(-2\le x\le 4\) رسم شده است. چون دامنه‌ی تابع کراندار است، حد در \(\pm\infty\) تعریف نمی‌شود و نمی‌توانیم درباره‌ی مجانب افقی در بی‌نهایت حکم بدهیم. بنابراین این تابع مجانب افقی ندارد.

پاسخ: خط \(y=2\) در نمودارهای ب، پ و ت مجانب افقی است.