جواب کار در کلاس صفحه ۵۷ حسابان (2)

حل: ابتدا صورت و مخرج کسر را تجزیه می‌کنیم:

\[f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-x-6}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x+2)}\]

مخرج فقط در \(x=3\) و \(x=-2\) صفر می‌شود. چون در این دو نقطه صورت کسر صفر نیست و با مخرج ساده نمی‌شود، این دو خط کاندیدای مجانب قائم هستند. برای هر کدام باید حد یک‌طرفه را بررسی کنیم.

بررسی \(x=3\): صورت کسر در \(x=3\) برابر \((3-1)(3-2)=2\) و مثبت است. مخرج را به‌صورت \((x-3)(x+2)\) در نظر می‌گیریم که \(x+2\) نزدیک \(3\) مقداری مثبت (برابر \(5\)) است.

\[\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\frac{2}{(0^{+})(5)}=+\infty\]

\[\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\frac{2}{(0^{-})(5)}=-\infty\]

پس خط \(x=3\) مجانب قائم منحنی است.

بررسی \(x=-2\): صورت کسر در \(x=-2\) برابر \((-2-1)(-2-2)=12\) و مثبت است. مخرج را در نزدیکی \(-2\) در نظر می‌گیریم که \(x-3\) نزدیک \(-2\) مقداری منفی (برابر \(-5\)) است.

\[\lim_{x\to (-2)^{+}} f(x)=\frac{12}{(-5)(0^{+})}=-\infty\]

\[\lim_{x\to (-2)^{-}} f(x)=\frac{12}{(-5)(0^{-})}=+\infty\]

پس خط \(x=-2\) نیز مجانب قائم منحنی است.

نتیجه: منحنی تابع \(f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-x-6}\) دو مجانب قائم دارد: \(x=3\) و \(x=-2\).