جواب کار در کلاس صفحه ۶۸ حسابان (2)

الف) ابتدا مخرج را تجزیه می‌کنیم:
\[f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\]

مجانب افقی: صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان \(x\) یعنی \(x^{2}\) تقسیم می‌کنیم:
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{0}{1}=0\]
پس خط \(y=0\) مجانب افقی تابع است.

مجانب قائم: ریشه‌های مخرج \(x=1\) و \(x=-1\) هستند.

برای \(x=-1\) عامل \(x+1\) در صورت و مخرج ساده می‌شود و داریم \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) (برای \(x\neq -1\)). پس
\[\lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x\to -1}\frac{1}{x-1}=-\frac{1}{2}\]
که عددی حقیقی است. بنابراین \(x=-1\) مجانب قائم نیست.

برای \(x=1\):
\[\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}=+\infty\]
\[\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{x-1}=-\infty\]
پس خط \(x=1\) مجانب قائم تابع است.

نتیجه: مجانب افقی \(y=0\) و مجانب قائم \(x=1\).

ب) تابع \(g(x)=x^{3}\) یک چندجمله‌ای است و در همه‌ی اعداد حقیقی تعریف شده است.

مجانب افقی: طبق قضیه ۸ داریم:
\[\lim_{x\to +\infty}x^{3}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}x^{3}=-\infty\]
هیچ‌کدام عدد حقیقی نیستند، پس تابع مجانب افقی ندارد.

مجانب قائم: چون تابع به ازای هیچ \(x\) حدش بی‌نهایت نمی‌شود، مجانب قائم ندارد.

نتیجه: تابع \(g(x)=x^{3}\) مجانب افقی و قائم ندارد.

پ) صورت \(x^{2}+1\) و مخرج \(x+1\) است.

مجانب افقی: درجه صورت از درجه مخرج بزرگ‌تر است. صورت و مخرج را بر \(x^{2}\) تقسیم می‌کنیم:
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}+1}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\cdot x\]
صورت کسر به \(1\) و مخرج به \(0\) میل می‌کند و در ضرب در \(x\) داریم
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+1}{x+1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+1}{x+1}=-\infty\]
چون حد در \(\pm\infty\) عدد حقیقی نیست، تابع مجانب افقی ندارد.

مجانب قائم: مخرج در \(x=-1\) صفر می‌شود و صورت در این نقطه برابر \(\left((-1)^{2}+1\right)=2\neq 0\) است. پس:
\[\lim_{x\to -1^{+}}\frac{x^{2}+1}{x+1}=+\infty\]
زیرا صورت مثبت است و مخرج از سمت راست به \(0\) مثبت نزدیک می‌شود. همچنین
\[\lim_{x\to -1^{-}}\frac{x^{2}+1}{x+1}=-\infty\]
پس خط \(x=-1\) مجانب قائم تابع است.

نتیجه: تابع مجانب افقی ندارد و خط \(x=-1\) مجانب قائم آن است.