جواب بدون عنوان صفحه ۲۳ ریاضیات گسسته

عدد \(A\) را در مبنای ده بسط می‌دهیم:

\[A=\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0}=a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+\cdots+a_1\times 10+a_0\]

می‌دانیم \(10 \overset{9}{\equiv} 1\). با توجه به ویژگی ۳ (دو طرف یک رابطهٔ هم‌نهشتی را می‌توان به توان \(n\) رساند) داریم:

\[10^{k} \overset{9}{\equiv} 1^{k}=1 \quad (k\in\mathbb{N})\]

حالا در هر جملهٔ بسط، به‌جای توان ۱۰ عدد ۱ را قرار می‌دهیم و با توجه به ویژگی ۲ (دو طرف یک رابطهٔ هم‌نهشتی را می‌توان در عددی ضرب کرد) داریم:

\[a_{n-1}\times 10^{n-1} \overset{9}{\equiv} a_{n-1}\times 1 = a_{n-1}\]

\[a_{n-2}\times 10^{n-2} \overset{9}{\equiv} a_{n-2}\times 1 = a_{n-2}\]

\[\vdots\]

\[a_1\times 10 \overset{9}{\equiv} a_1\times 1 = a_1\]

\[a_0 \overset{9}{\equiv} a_0\]

با جمع طرفین هم‌نهشتی‌ها (ویژگی ۴) داریم:

\[A \overset{9}{\equiv} a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_1+a_0\]

سمت راست این هم‌نهشتی مجموع ارقام عدد \(A\) است. پس در حالت کلّی:

\[A \overset{9}{\equiv} \text{مجموع ارقام } A\]

یعنی باقی‌مانده‌ی تقسیم هر عدد طبیعی بر ۹ برابر است با باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر ۹.