جواب کار در کلاس صفحه ۹۷ حسابان (2)

الف) \(f(x)=(x^2+1)^3(5x-1)\)

از قاعدهٔ ضرب استفاده می‌کنیم: اگر \(u=(x^2+1)^3\) و \(v=5x-1\) باشد، داریم \((uv)'=u'v+uv'\).

ابتدا مشتق \(u=(x^2+1)^3\) را با قاعدهٔ زنجیری به دست می‌آوریم. فرض می‌کنیم \(x^2+1=w\)، آنگاه \(u=w^3\) و:
\[u'=(2x)(3w^2)=6x(x^2+1)^2\]

همچنین \(v'=5\). پس:
\[f'(x)=6x(x^2+1)^2(5x-1)+(x^2+1)^3(5)\]

اگر عبارت را ساده کنیم، داریم:
\[f'(x)=(x^2+1)^2\left[6x(5x-1)+5(x^2+1)\right]=(x^2+1)^2(30x^2-6x+5x^2+5)\]
\[f'(x)=(x^2+1)^2(35x^2-6x+5)\]

ب) \(g(x)=\cos^2 x\)

فرض می‌کنیم \(\cos x=u\)، آنگاه \(g=u^2\) و \(u'=-\sin x\). طبق دستور زنجیری:
\[g'(x)=u'\cdot 2u=(-\sin x)(2)(\cos x)\]
\[g'(x)=-2\sin x\cos x\]

پ) \(h(x)=\sin(3x^2+5)\)

فرض می‌کنیم \(3x^2+5=u\)، آنگاه \(h=\sin u\) و \(u'=6x\). طبق دستور زنجیری:
\[h'(x)=u'\cdot\cos u=(6x)\cos(3x^2+5)\]
\[h'(x)=6x\cos(3x^2+5)\]

<!-- item 1 is the only question -->