جواب فعالیت صفحه ۸۴ حسابان (2)

الف) از روی نمودار: نقطه‌ی \((2,1)\) روی نمودار است، اما نقطه‌ی \((2,4)\) نیز روی منحنی است (توخالی). یعنی به ازای \(x\) های نزدیک به \(2\) مقدار تابع به \(4\) نزدیک می‌شود، ولی مقدار تابع در \(x=2\) برابر \(1\) است. پس نمودار در \(x=2\) یک «پرش» دارد.

اگر بخواهیم شیب خط مماس را در نقطه‌ی \(x=2\) پیدا کنیم، باید خط‌های وصل‌کننده‌ی نقطه‌ی \((2,1)\) به نقاط دیگر منحنی را در نظر بگیریم. وقتی \(x\) به \(2\) نزدیک می‌شود، نقطه‌ی روی منحنی به \((2,4)\) نزدیک می‌شود و خط وصل‌کننده‌ی \((2,1)\) به آن نقطه تقریباً قائم می‌شود، یعنی شیب آن خیلی بزرگ (در سمت راست مثبت و در سمت چپ منفی) می‌شود. بنابراین خط مماس در \(x=2\) قائم است و شیب متناهی ندارد. پس \(f'(2)\) وجود ندارد.

برای همین نتیجه با تعریف مشتق:

\[\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{x^2-1}{x-2}\]

حد صورت کسر برابر \(3\) و حد مخرج کسر برابر صفر است. پس:

\[\text{حد راست} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = +\infty\]

\[\text{حد چپ} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = -\infty\]

بنابراین \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\) متناهی نیست و \(f'(2)\) وجود ندارد.

ب) نقطه‌ی \(x=1\) را در نظر می‌گیریم. در همسایگی \(1\) تابع همان \(f(x)=x^2\) است، پس:

\[\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2\]

حد متناهی است، پس تابع در \(x=1\) مشتق‌پذیر است و \(f'(1)=2\). شیب خط مماس بر نمودار در \(x=1\) برابر \(2\) است.

به همین ترتیب برای هر \(a\neq 2\) داریم \(f'(a)=2a\)، یعنی تابع در همه‌ی نقاط به‌جز \(x=2\) مشتق‌پذیر است. نتیجه‌ی خود را با دوستانتان مقایسه کنید.