جواب فعالیت صفحه ۷۴ حسابان (2)

با توجه به شکل‌ها و کاری که انجام دادیم:

حدس برای خط‌های قاطع از نقطه \(A\) (نزدیک شدن نقطه‌ها از سمت راست):
وقتی نقطه \(B\) و نقطه‌های دیگر را هرچه به \(A\) نزدیک‌تر انتخاب می‌کنیم، خط‌های قاطع گذرنده از \(A\) کم‌کم به یک وضعیت ثابت نزدیک می‌شوند. در شکل، این خط‌ها به خط مماس بر منحنی در نقطه \(A\) نزدیک می‌شوند. یعنی خط قاطع \(AB\) به خط مماس بر منحنی در \(A\) نزدیک می‌شود.

حدس برای خط‌های قاطع با نقطه \(C\) در سمت چپ \(A\):
وقتی نقطه \(C\) و نقطه‌های دیگر سمت چپ \(A\) را به \(A\) نزدیک می‌کنیم، باز هم خط‌های قاطع به همان خط مماس بر منحنی در \(A\) نزدیک می‌شوند. پس خط قاطع \(AC\) هم به خط مماس در نقطه \(A\) نزدیک می‌شود.

نتیجه:
چون خط‌های قاطع از هر دو طرف نقطه \(A\) به یک خط نزدیک می‌شوند، این خط همان خط مماس بر منحنی در نقطه \(A\) است. بنابراین، شیب خط مماس بر منحنی در نقطه \(A\) حد شیب خط‌های قاطع گذرنده از \(A\) است، به شرطی که نقطه‌ها به قدر کافی به \(A\) نزدیک شوند.