جواب فعالیت صفحه ۵۴ حسابان (2)

حل:

الف) با توجه به قضیه 1 (زوج بودن توان ۲):
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]
پس \(\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty\).

و چون \(g(x)=x+1\) یک چندجمله‌ای است:
\[\lim_{x\to 0}(x+1)=0+1=1\]
پس \(\lim_{x\to 0} g(x)=1\).

ب) تابع \(f+g\) را می‌نویسیم:
\[(f+g)(x)=\frac{1}{x^2}+x+1=\frac{1+(x+1)x^2}{x^2}=\frac{x^3+x^2+1}{x^2}\]

حد صورت کسر وقتی \(x\to 0\) برابر \(1\) و حد مخرج کسر برابر صفر است. از آنجا که \(x^2\) برای \(x\neq 0\) مقداری مثبت است، طبق بند (الف) قضیه 3 داریم:
\[\lim_{x\to 0}\big((f+g)(x)\big)=\lim_{x\to 0}\frac{x^3+x^2+1}{x^2}=+\infty\]

پ) با توجه به نتیجه‌های بالا:
\[\lim_{x\to 0}(f+g)(x)=+\infty=+\infty+1=\lim_{x\to 0}f(x)+\lim_{x\to 0}g(x)\]
یعنی وقتی یکی از حدها بی‌نهایت و دیگری عدد حقیقی است، حد مجموع دو تابع برابر مجموع حدهای آن‌هاست و نتیجه بی‌نهایت است.