جواب بدون عنوان صفحه ۵۶ هندسه 3

نکته دربارهٔ صورت سؤال: در متن کتاب نقطهٔ \(B\) با مختصات \(B(-5,3)\) آمده است، اما این نقطه روی خط \(F\) و \(B\) به فاصلهٔ \(2a=4\) از کانون قرار ندارد و با شکل هم نمی‌خواند. نقطهٔ \(B\) هم‌طول با \(F\) است، پس مختصات درست آن \(B(-3,5)\) است. در ادامه همین نقطه را بررسی می‌کنیم.

بررسی نقاط \(B\) و \(B'\)

معادلهٔ سهمی به صورت استاندارد \((y-1)^2=-8(x+1)\) است، پس رأس \(A(-1,1)\)، \(a=2\)، کانون \(F(-3,1)\) و خط هادی \(x=1\) است.

نقطهٔ \(B(-3,5)\) را بررسی می‌کنیم:

فاصلهٔ \(B\) از کانون:
\[|BF|=\sqrt{(-3-(-3))^2+(5-1)^2}=\sqrt{0+16}=4\]

فاصلهٔ \(B\) از خط هادی \(x=1\):
\[|BB_1|=|-3-1|=4\]

چون \(|BF|=|BB_1|=4\)، پس \(B\) روی سهمی است.

نقطهٔ \(B'(-3,-3)\) هم به همین شکل است:
\[|B'F|=\sqrt{0+(-3-1)^2}=4,\qquad |B'B_1'|=|-3-1|=4\]

پس \(B'\) هم روی سهمی است. همچنین در معادله هم داریم:
\[(5-1)^2=16=-8(-3+1) \qquad,\qquad (-3-1)^2=16=-8(-3+1)\]

رسم تقریبی سهمی

برای رسم، چند نقطه از سهمی را با معادلهٔ \((y-1)^2=-8(x+1)\) پیدا می‌کنیم:

• \(y=0\): \(x=-\frac{9}{8}\)، پس نقطهٔ \(\left(-\frac{9}{8},0\right)\)
• \(y=-1\): \(x=-\frac{3}{2}\)، پس نقطهٔ \(\left(-\frac{3}{2},-1\right)\)
• \(y=3\): \(x=-\frac{3}{2}\)، پس نقطهٔ \(\left(-\frac{3}{2},3\right)\)

نقاط \(B'\)، \(\left(-\frac{3}{2},-1\right)\)، \(\left(-\frac{9}{8},0\right)\)، \(A\)، \(\left(-\frac{9}{8},2\right)\)، \(\left(-\frac{3}{2},3\right)\) و \(B\) را به هم وصل می‌کنیم و منحنی را ادامه می‌دهیم. دهانهٔ سهمی رو به چپ است و محور تقارن آن خط \(y=1\) است.

شکل تقریبی سهمی: