جواب فعالیت صفحه ۷۹ ریاضی (1)

الف) ابتدا عبارت \(x^2-4x\) را با کم و زیاد کردن عدد مناسب، به مربع کامل تبدیل می‌کنیم. نصف ضریب \(x\) برابر \(-2\) و مربع آن \(4\) است، پس:

\[y = x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5\]

\[y = x^2 - 4x + 5 \Rightarrow y = (x-2)^2 + 1\]

پس جای نقطه‌چین برابر \(1\) است.

ب) ریشهٔ عبارت داخل پرانتز را به‌دست می‌آوریم:

\[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\]

پس ردیف وسط جدول \(x=2\) است. حالا مقدار \(y\) را برای هر \(x\) حساب می‌کنیم:

• \(x=0\): \(y=0^2-4(0)+5=5\)، نقطهٔ \((0,5)\)
• \(x=1\): \(y=1-4+5=2\)، نقطهٔ \((1,2)\)
• \(x=2\): \(y=4-8+5=1\)، نقطهٔ \((2,1)\)
• \(x=3\): \(y=9-12+5=2\)، نقطهٔ \((3,2)\)
• \(x=4\): \(y=16-16+5=5\)، نقطهٔ \((4,5)\)

پ) پنج نقطهٔ به‌دست آمده را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم و آن‌ها را به‌صورت یک منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم. شکل سهمی به‌دست آمده در زیر آمده است.

ت) از معادلهٔ \(y = (x-2)^2 + 1\) استفاده می‌کنیم. می‌دانیم مربع هر عددی بزرگ‌تر یا مساوی صفر است، پس \((x-2)^2 \geq 0\). کوچک‌ترین مقدار \((x-2)^2\) برابر \(0\) است و این وقتی رخ می‌دهد که \(x-2=0\)، یعنی \(x=2\). در این صورت:

\[y = 0 + 1 = 1\]

پس پایین‌ترین نقطهٔ سهمی، نقطهٔ \((2,1)\) است. چون ضریب \(x^2\) مثبت است، سهمی رو به بالا باز می‌شود و این نقطه پایین‌ترین نقطهٔ آن است.