جواب کار در کلاس صفحه ۸۷ حسابان (2)

ابتدا توجه کنید که \(f(x)=|x^2-1|\) و \(f(-1)=|1-1|=0\). برای محاسبه \(f'(-1)\) باید حد زیر را بررسی کنیم:

\[\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x\to -1}\frac{|x^2-1|}{x+1}\]

چون مقدار قدر مطلق به علامت \(x^2-1\) بستگی دارد، باید حدهای راست و چپ را جدا به دست آوریم.

حد راست: وقتی \(x\to -1^+\)، عدد \(x\) کمی بزرگ‌تر از \(-1\) و کمی کوچک‌تر از \(1\) است، پس \(x^2-1<0\) و داریم \(|x^2-1|=-(x^2-1)=1-x^2\). بنابراین:

\[\text{حد راست}=\lim_{x\to -1^+}\frac{1-x^2}{x+1}=\lim_{x\to -1^+}\frac{(1-x)(1+x)}{x+1}=\lim_{x\to -1^+}(1-x)=2\]

حد چپ: وقتی \(x\to -1^-\)، عدد \(x\) کمی کوچک‌تر از \(-1\) است، پس \(x^2-1>0\) و \(|x^2-1|=x^2-1\). بنابراین:

\[\text{حد چپ}=\lim_{x\to -1^-}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to -1^-}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\lim_{x\to -1^-}(x-1)=-2\]

چون حد راست (\(2\)) با حد چپ (\(-2\)) برابر نیست، حد \(\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}\) موجود نیست. پس \(f'(-1)\) وجود ندارد.

به عبارت دیگر:

\[f'_+(-1)=2 \qquad f'_-(-1)=-2\]

معادله نیم‌مماس‌ها: چون نقطه \((-1,0)\) روی منحنی است، معادله هر نیم‌مماس را با شیب آن و گذر از این نقطه می‌نویسیم.

نیم‌مماس راست با شیب \(2\):

\[y-0=2(x+1) \quad \text{یا} \quad y=2x+2 \, ، \quad x\geq -1\]

نیم‌مماس چپ با شیب \(-2\):

\[y-0=-2(x+1) \quad \text{یا} \quad y=-2x-2 \, ، \quad x\leq -1\]

پس در \(x=-1\) دو نیم‌مماس با شیب‌های \(2\) و \(-2\) داریم و خط مماس واحدی وجود ندارد.