جواب کار در کلاس صفحه ۶۶ حسابان (2)

با فاکتورگیری از بزرگ‌ترین توان \(x\) در صورت و مخرج می‌نویسیم:

\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{n}\left(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\dfrac{a_0}{x^{n}}\right)}{x^{m}\left(b_m+\dfrac{b_{m-1}}{x}+\cdots+\dfrac{b_0}{x^{m}}\right)} \\ = x^{n-m}\cdot\frac{a_n+\dfrac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\dfrac{a_0}{x^{n}}}{b_m+\dfrac{b_{m-1}}{x}+\cdots+\dfrac{b_0}{x^{m}}}\]

حالا \(x\) را به \(\pm\infty\) میل می‌دهیم. هر جملهٔ \(\dfrac{a_k}{x^{n-k}}\) (که \(n-k\geq 1\)) طبق قضیه 6 به صفر میل می‌کند. پس با استفاده از قسمت الف قضیه 7:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_0}{x^{n}}\right)=a_n\]

به همین ترتیب، چون \(b_m\neq 0\)، با استفاده از قسمت الف و قسمت پ قضیه 7:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(b_m+\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+\frac{b_0}{x^{m}}\right)=b_m\neq 0\]

بنابراین کسر داخل پرانتز به \(\dfrac{a_n}{b_m}\) میل می‌کند و می‌توان نوشت:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\qquad (b_m\neq 0)\]