جواب تمرین صفحه ۵۸ حسابان (2)

الف) صورت کسر به \(\sqrt{3}\) میل می‌کند و مخرج به صفر. برای \(x\neq 0\) داریم \(g(x)=x^2>0\) و \(\lim_{x\to 0}g(x)=0\). همچنین \(\lim_{x\to 0}\sqrt{3+x^2}=\sqrt{3}>0\). طبق بند (الف) قضیه 3:
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2}=+\infty\]

ب) قرار می‌دهیم \(t=x-2\). وقتی \(x\to 2\) آنگاه \(t\to 0\) و
\[\frac{1}{(x-2)^4}=\frac{1}{t^4}\]
طبق قضیه 1 با \(n=4\) (عددی زوج) داریم \(\lim_{t\to 0}\frac{1}{t^4}=+\infty\). پس
\[\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^4}=+\infty\]

پ) چون \(\left|\dfrac{5-x}{2+x}\right|=\dfrac{|5-x|}{|2+x|}\)، داریم \(\lim_{x\to -2}|5-x|=7>0\) و \(\lim_{x\to -2}|2+x|=0\). همچنین \(|2+x|>0\) در همسایگی محذوف \(-2\). طبق بند (الف) قضیه 3:
\[\lim_{x\to -2}\left|\frac{5-x}{2+x}\right|=+\infty\]