جواب تمرین ۱-۵ صفحه ۱۶ فیزیک (2) - ریاضی فیزیک

ابتدا فاصله‌ها را از روی شکل مشخص می‌کنیم. بار \(q_1=-2/0\,\mathrm{nC}\) در فاصلهٔ \(3/0\,\mathrm{cm}\) سمت چپ نقطهٔ O و بار \(q_2=+2/0\,\mathrm{nC}\) در فاصلهٔ \(3/0\,\mathrm{cm}\) سمت راست نقطهٔ O قرار دارد. بنابراین فاصلهٔ O تا M برابر \(6/0\,\mathrm{cm}\) و فاصلهٔ \(q_2\) تا M برابر \(3/0\,\mathrm{cm}\) است.

در غیاب هر یک از دو بار، میدان حاصل از بار دیگر را محاسبه می‌کنیم. میدان حاصل از مجموعهٔ دو بار برابر جمع برداری این دو میدان است.

الف) میدان در نقطهٔ O

بار \(q_1\) منفی است و نقطهٔ O را جذب می‌کند؛ پس \(\vec{E}_1\) به سمت بار \(q_1\) یعنی در جهت منفی محور x است. بار \(q_2\) مثبت است و نقطهٔ O را دفع می‌کند؛ پس \(\vec{E}_2\) نیز در جهت منفی محور x است. بنابراین \(\vec{E}_1\) و \(\vec{E}_2\) هم‌جهت‌اند.

\[E_1=k\frac{|q_1|}{r_1^2}=(9/0\times10^9\,\mathrm{N.m^2/C^2})\frac{(2/0\times10^{-9}\,\mathrm{C})}{(3/0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}=2/0\times10^4\,\mathrm{N/C}\]

\[E_2=k\frac{|q_2|}{r_2^2}=(9/0\times10^9\,\mathrm{N.m^2/C^2})\frac{(2/0\times10^{-9}\,\mathrm{C})}{(3/0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}=2/0\times10^4\,\mathrm{N/C}\]

بنابراین اصل برهم‌نهی میدان‌های الکتریکی داریم:
\[\vec{E}_O=\vec{E}_1+\vec{E}_2=-E_1\vec{i}-E_2\vec{i}=(-2/0\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}+(-2/0\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}=(-4/0\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}\]

ب) میدان در نقطهٔ M

بار \(q_1\) منفی است و نقطهٔ M را جذب می‌کند؛ پس \(\vec{E}_1\) در جهت منفی محور x است. بار \(q_2\) مثبت است و نقطهٔ M را دفع می‌کند؛ پس \(\vec{E}_2\) در جهت مثبت محور x است. بنابراین این دو میدان در خلاف جهت یکدیگرند.

فاصلهٔ \(q_1\) تا M برابر \(9/0\,\mathrm{cm}\) و فاصلهٔ \(q_2\) تا M برابر \(3/0\,\mathrm{cm}\) است:

\[E_1=k\frac{|q_1|}{r_1^2}=(9/0\times10^9\,\mathrm{N.m^2/C^2})\frac{(2/0\times10^{-9}\,\mathrm{C})}{(9/0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}=2/22\times10^3\,\mathrm{N/C}\approx2/2\times10^3\,\mathrm{N/C}\]

\[E_2=k\frac{|q_2|}{r_2^2}=(9/0\times10^9\,\mathrm{N.m^2/C^2})\frac{(2/0\times10^{-9}\,\mathrm{C})}{(3/0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}=2/0\times10^4\,\mathrm{N/C}\]

بنابراین:
\[\vec{E}_M=\vec{E}_1+\vec{E}_2=-E_1\vec{i}+E_2\vec{i}=(-2/2\times10^3\,\mathrm{N/C})\vec{i}+(2/0\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}\simeq(1/8\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}\]

پاسخ: میدان خالص در نقطهٔ O برابر \((-4/0\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}\) و در نقطهٔ M برابر \((1/8\times10^4\,\mathrm{N/C})\vec{i}\) است.