جواب فعالیت صفحه ۱۴۳ ریاضی هشتم

پاسخ:

دلیل اول (مثلث‌های متساوی‌الساقین): چون \(OA\)، \(OB\)، \(OC\) و ... شعاع‌های یک دایره‌اند، پس \(OA=OB\) و مثلث \(AOB\) متساوی‌الساقین است. همین‌طور مثلث‌های \(BOC\)، \(COD\) و ... هم متساوی‌الساقین‌اند، زیرا دو ضلع هر کدام شعاع دایره است.

دلیل دوم (زاویه‌های سبز رنگ): در هر مثلث متساوی‌الساقین، دو زاویهٔ قاعده با هم برابرند. زاویهٔ رأس هر مثلث (\(\hat{O}_1\)، \(\hat{O}_2\)، ...) با هم برابرند، چون هشت کمان مساوی‌اند و هر زاویهٔ مرکزی برابر \(\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\) است. پس زاویه‌های قاعدهٔ این مثلث‌ها هم با هم برابرند. زاویه‌های سبز رنگ همان زاویه‌های قاعده‌اند، پس با هم برابرند.

دلیل سوم (زاویه‌های هشت‌ضلعی): هر زاویهٔ هشت‌ضلعی، مثلاً زاویهٔ \(B\)، از مجموع دو زاویهٔ قاعدهٔ دو مثلث مجاور به دست می‌آید؛ مثلاً زاویهٔ \(B\) برابر است با زاویهٔ سبز در \(AOB\) به‌اضافهٔ زاویهٔ سبز در \(BOC\). چون همهٔ زاویه‌های سبز با هم برابرند، همهٔ زاویه‌های هشت‌ضلعی هم با هم برابرند.

دلیل مساوی بودن ضلع‌ها (تکمیل نظر آرش): مثلث‌های \(AOB\) و \(BOC\) به حالت ض‌ز‌ض (دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها) هم‌نهشت‌اند: \(OA=OB\)، \(OB=OC\) و زاویهٔ \(O\) در هر دو مثلث برابر \(45^\circ\) است. به همین ترتیب مثلث‌های \(COD\) و ... هم هم‌نهشت‌اند. پس \(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\cdots\).

نتیجه: هشت‌ضلعی \(ABCDEFGH\) هم ضلع‌هایش برابرند و هم زاویه‌هایش برابرند، پس منتظم است.