جواب فعالیت صفحه ۱۸ حسابان (2)

نکتهٔ صورت سؤال: در متن سؤال نوشته شده «\(p(x)\) بر \(f(x)\)»، اما درجهٔ \(p\) برابر \(2\) و درجهٔ \(f\) برابر \(3\) است، پس تقسیم \(p\) بر \(f\) خارج‌قسمت \(0\) و باقیمانده \(p(x)\) می‌دهد و حکم \(q(x)=x-3\) برقرار نیست. تساوی بخش ب، یعنی \(f(x)=p(x)q(x)+r(x)\)، نشان می‌دهد که منظور تقسیم \(f\) بر \(p\) است. پس «\(f(x)\) بر \(p(x)\)» را تقسیم می‌کنیم.

الف) چند جمله‌ای \(f(x)=x^3-3x^2+0x+1\) را بر \(p(x)=x^2-2\) تقسیم می‌کنیم:

• جمله‌ی اول: \(\dfrac{x^3}{x^2}=x\). حاصل \(x\) را در \(p(x)\) ضرب و از \(f(x)\) کم می‌کنیم:

\[x^3-3x^2+1-(x^3-2x)=-3x^2+2x+1\]

• جمله‌ی بعدی: \(\dfrac{-3x^2}{x^2}=-3\). حاصل \(-3\) را در \(p(x)\) ضرب و کم می‌کنیم:

\[(-3x^2+2x+1)-(-3x^2+6)=2x-5\]

درجهٔ باقیمانده \(2x-5\) برابر \(1\) است و از درجهٔ \(p(x)\) که \(2\) است کمتر است، پس تقسیم تمام می‌شود.

بنابراین:
\[q(x)=x-3 \qquad , \qquad r(x)=2x-5\]

ب) برای بررسی درستی تساوی \(f(x)=p(x)q(x)+r(x)\)، طرف راست را حساب می‌کنیم:
\[p(x)q(x)+r(x)=(x^2-2)(x-3)+(2x-5)\]
\[=x^3-3x^2-2x+6+2x-5\]
\[=x^3-3x^2+1=f(x)\]

پس تساوی \(f(x)=p(x)q(x)+r(x)\) درست است.