جواب فعالیت صفحه ۲۰ حسابان (2)

با تقسیم \(x^4-a^4\) بر \(x-a\) شروع می‌کنیم:

• \(x^4\) را بر \(x\) تقسیم می‌کنیم: \(x^3\). سپس \(x^3(x-a)=x^4-ax^3\) را از \(x^4-a^4\) کم می‌کنیم و \(ax^3-a^4\) می‌ماند.
• \(ax^3\) را بر \(x\) تقسیم می‌کنیم: \(ax^2\). سپس \(ax^2(x-a)=ax^3-a^2x^2\) را کم می‌کنیم و \(a^2x^2-a^4\) می‌ماند.
• \(a^2x^2\) را بر \(x\) تقسیم می‌کنیم: \(a^2x\). سپس \(a^2x(x-a)=a^2x^2-a^3x\) را کم می‌کنیم و \(a^3x-a^4\) می‌ماند.
• \(a^3x\) را بر \(x\) تقسیم می‌کنیم: \(a^3\). سپس \(a^3(x-a)=a^3x-a^4\) را کم می‌کنیم و باقی‌مانده صفر می‌شود.

پس خارج‌قسمت \(q(x)=x^3+ax^2+a^2x+a^3\) و باقی‌مانده \(r(x)=0\) است. بنابراین:
\[x^4-a^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)\]