جواب تمرین صفحه ۲۱ حسابان (2)
بازگشت به صفحه کتاب۱. تابع \(f(x)=(x-2)^3+1\) را در نظر بگیرید.
الف) نمودار تابع \(f\) را به کمک نمودار تابع \(y=x^3\) رسم کنید.
ب) نشان دهید که \(f\) واروون‌پذیر است و نمودار \(f^{-1}\) را رسم کنید.
پ) ضابطه \(f^{-1}\) را به‌دست آورید.
الف) تابع \(f(x)=(x-2)^3+1\) از \(y=x^3\) به دست می‌آید. ابتدا نمودار \(y=x^3\) را \(2\) واحد به راست منتقل می‌کنیم تا \(y=(x-2)^3\) شود، سپس \(1\) واحد به بالا می‌بریم. مرکز تقارن نمودار به نقطهٔ \((2,1)\) منتقل می‌شود. چند نقطه برای رسم:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-7\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(9\) |
ب) تابع \(y=x^3\) اکیداً صعودی است. با انتقال، تابع \(f\) نیز اکیداً صعودی است و هر خط افقی نمودار آن را حداکثر یک بار قطع می‌کند. پس \(f\) وارون‌پذیر است.
برای رسم \(f^{-1}\) نمودار \(f\) را نسبت به خط \(y=x\) قرینه می‌کنیم (در شکل، خط‌چین \(y=x\) و منحنی قرمز \(f^{-1}\) دیده می‌شوند).
پ) از \(y=(x-2)^3+1\) داریم:
\[y-1=(x-2)^3\]
\[x-2=\sqrt[3]{y-1}\]
و چون \(x\) و \(y\) را جابه‌جا می‌کنیم:
\[f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}+2\]
کار در کلاس
|
صفحه ۴فعالیت
|
صفحه ۶کار در کلاس
|
صفحه ۷فعالیت
|
صفحه ۸کار در کلاس
|
صفحه ۱۰بدون عنوان
|
صفحه ۱۰تمرین
|
صفحه ۱۱کار در کلاس
|
صفحه ۱۳فعالیت
|
صفحه ۱۴کار در کلاس
|
صفحه ۱۴فعالیت
|
صفحه ۱۵کار در کلاس
|
صفحه ۱۷فعالیت
|
صفحه ۱۸کار در کلاس
|
صفحه ۱۹فعالیت
|
صفحه ۱۹کار در کلاس
|
صفحه ۱۹فعالیت
|
صفحه ۲۰کار در کلاس
|
صفحه ۲۰تمرین
|
صفحه ۲۱