جواب کار در کلاس صفحه ۲۰ حسابان (2)

در اتحاد اصلی به جای \(a\) عدد \(-a\) قرار می‌دهیم:

\[x^n-(-a)^n=(x+(-a)) \big(x^{n-1}+(-a)x^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots+(-a)^{n-2}x+(-a)^{n-1}\big)\]

چون \(n\) فرد است، داریم \((-a)^n=-a^n\) و \((-a)^{n-1}=a^{n-1}\) (زیرا \(n-1\) زوج است). پس:

\[x^n+a^n=(x+a)(x^{n-1}-ax^{n-2}+a^2x^{n-3}-\cdots-a^{n-2}x+a^{n-1})\]

حالا چند جمله‌ای \(1+x^5\) را تجزیه می‌کنیم. در این اتحاد \(a=1\) و \(n=5\) است:

\[1+x^5=x^5+1^5=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\]