جواب کار در کلاس صفحه ۱۳ حسابان (2)

برای تعیین درجهٔ هر تابع چندجمله‌ای، ابتدا آن را به صورت \(a_n x^n + \cdots\) مرتب می‌کنیم و بزرگ‌ترین توان \(x\) با ضریب غیرصفر را پیدا می‌کنیم.

الف) \(f(x)=2x-3\)
بزرگ‌ترین توان \(x\) برابر \(1\) است. پس درجه‌ی \(f\) برابر \(1\) است.

ب) \(h(x)=x^3+x-4\)
بزرگ‌ترین توان \(x\) برابر \(3\) است. پس درجه‌ی \(h\) برابر \(3\) است.

پ) \(n(x)=2x-x^4\)
بزرگ‌ترین توان \(x\) برابر \(4\) است و ضریب آن \(-1\neq 0\) است. پس درجه‌ی \(n\) برابر \(4\) است.

ت) \(g(x)=(x-1)^2+3\)
ابتدا پرانتز را باز می‌کنیم:
\[g(x)=x^2-2x+1+3=x^2-2x+4\]
بزرگ‌ترین توان \(x\) برابر \(2\) است. پس درجه‌ی \(g\) برابر \(2\) است.

ث) \(m(x)=5\)
این یک تابع ثابت \(m(x)=c\) با \(c\neq 0\) است. پس درجه‌ی \(m\) برابر \(0\) است.

ج) \(p(x)=x^2(1-x)^3\)
ابتدا \((1-x)^3\) را بررسی می‌کنیم. بزرگ‌ترین توان آن \(x^3\) با ضریب \(-1\) است، پس
\[(1-x)^3=-x^3+3x^2-3x+1\]
حال در \(x^2\) ضرب می‌کنیم:
\[p(x)=x^2(-x^3+3x^2-3x+1)=-x^5+3x^4-3x^3+x^2\]
بزرگ‌ترین توان \(x\) برابر \(5\) است و ضریب آن \(-1\neq 0\) است. پس درجه‌ی \(p\) برابر \(5\) است.

نتیجه:
\[\deg f=1,\quad \deg h=3,\quad \deg n=4,\quad \deg g=2,\quad \deg m=0,\quad \deg p=5\]