جواب تمرین صفحه ۱۰ فیزیک (2) - تجربی

یادآوری داده‌های مثال ۱ـ۴: \(q_1=+2/0\,\mu\text{C}\) در رأس قائمه، \(q_2=+4/0\,\mu\text{C}\) و \(q_3=-3/0\,\mu\text{C}\). فاصله‌های \(r_{21}=3/0\,\text{m}\) و \(r_{31}=3/0\,\text{m}\) هستند. دستگاه مختصات مثال: محور \(x\) افقی به سمت راست و محور \(y\) قائم به سمت بالا.

در مثال ۱ـ۴ داشتیم:
\[\vec{F}_{21}=(8/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i},\qquad \vec{F}_{31}=(6/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\]
و برایند آن‌ها \(F_T=1/0\times10^{-2}\ \text{N}\) است.

الف) تغییر علامت \(q_2\)

حالا \(q_2=-4/0\,\mu\text{C}\) است. بار \(q_1\) مثبت است و \(q_2\) منفی، پس نیروی بین آن‌ها جاذبه است. اندازهٔ نیرو تغییر نمی‌کند:
\[F_{21}=k\frac{|q_2||q_1|}{r_{21}^2}=(9/0\times10^9)\frac{(4/0\times10^{-6})(2/0\times10^{-6})}{(3/0)^2}=8/0\times10^{-3}\ \text{N}\]
جاذبه یعنی \(q_1\) به سوی \(q_2\) کشیده می‌شود، یعنی در جهت منفی محور \(x\):
\[\vec{F}_{21}=(-8/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i}\]
نیروی \(\vec{F}_{31}\) تغییر نمی‌کند: \(\vec{F}_{31}=(6/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\).

برایند نیروها:
\[\vec{F}_T=\vec{F}_{21}+\vec{F}_{31}=(-8/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i}+(6/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\]
بنابراین جهت نیروی برایند به سمت چپ و بالا است (در ربع دوم دستگاه مختصات).

ب) تغییر علامت \(q_1\)

حالا \(q_1=-2/0\,\mu\text{C}\) است. برای به‌دست آوردن جهت نیروی برایند بر \(q_2\)، نیروهای وارد بر \(q_2\) را حساب می‌کنیم. فاصلهٔ \(q_2\) تا \(q_1\) برابر \(3/0\,\text{m}\) و فاصلهٔ \(q_2\) تا \(q_3\) برابر
\[r_{23}=\sqrt{(3/0)^2+(3/0)^2}=3\sqrt{2}\ \text{m}\]
است.

نیروی بین \(q_2\) و \(q_1\): \(q_2\) مثبت و \(q_1\) منفی است، پس جاذبه و در جهت مثبت محور \(x\) است:
\[F_{12}=k\frac{|q_1||q_2|}{r_{21}^2}=(9/0\times10^9)\frac{(2/0\times10^{-6})(4/0\times10^{-6})}{(3/0)^2}=8/0\times10^{-3}\ \text{N}\]
\[\vec{F}_{12}=(8/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i}\]

نیروی بین \(q_2\) و \(q_3\): هر دو منفی؟ نه؛ \(q_2\) مثبت و \(q_3\) منفی است، پس جاذبه و در جهت از \(q_2\) به \(q_3\) است. این جهت، یعنی \((1,1)\)، با مؤلفه‌های برابر است:
\[F_{32}=k\frac{|q_3||q_2|}{r_{23}^2}=(9/0\times10^9)\frac{(3/0\times10^{-6})(4/0\times10^{-6})}{(3\sqrt{2})^2}=6/0\times10^{-3}\ \text{N}\]
\[\vec{F}_{32}=\frac{6/0\times10^{-3}}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{6/0\times10^{-3}}{\sqrt{2}}\vec{j}\approx(4/2\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i}+(4/2\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\]

برایند نیروها بر \(q_2\):
\[\vec{F}_T=(8/0+4/2)\times10^{-3}\,\vec{i}+4/2\times10^{-3}\,\vec{j}\approx(1/22\times10^{-2}\ \text{N})\vec{i}+(4/2\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\]
بنابراین جهت نیروی برایند به سمت راست و کمی بالا است (تقریباً \(19^\circ\) بالاتر از جهت مثبت محور \(x\)).

پ) مقایسهٔ اندازهٔ نیروی برایند وارد بر \(q_1\)

در قسمت الف، فقط علامت \(q_2\) عوض شد. اندازهٔ هر یک از نیروها، با توجه به اینکه در رابطهٔ کولن از \(|q|\) استفاده می‌شود، همان مقدار مثال ۱ـ۴ مانده است:
\[F_T=\sqrt{(8/0\times10^{-3})^2+(6/0\times10^{-3})^2}=1/0\times10^{-2}\ \text{N}\]

در قسمت ب هم علامت \(q_1\) تغییر کرد، اما برای نیروی وارد بر \(q_1\) باید آن را حساب کنیم. نیروی \(q_2\) (مثبت) بر \(q_1\) (حالا منفی) جاذبه و در جهت منفی محور \(x\) است، و نیروی \(q_3\) (منفی) بر \(q_1\) (حالا منفی) دافعه و در جهت منفی محور \(y\) است:
\[\vec{F}_T=(-8/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{i}+(-6/0\times10^{-3}\ \text{N})\vec{j}\]
\[F_T=\sqrt{(8/0\times10^{-3})^2+(6/0\times10^{-3})^2}=1/0\times10^{-2}\ \text{N}\]

نتیجه: اندازهٔ نیروی برایند وارد بر \(q_1\) در هر دو قسمت الف و ب با مثال ۱ـ۴ برابر و \(1/0\times10^{-2}\ \text{N}\) است؛ فقط جهت آن تغییر می‌کند.