جواب تمرین صفحه ۱۲۵ حسابان (2)

بازگشت به صفحه کتاب

حسابان (2)

حسابان (2) | درس اول: اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی

صفحه ۱۲۵

سؤال 1

۱. نمودار تابعی را رسم کنید که همهٔ شرایط زیر را داشته باشد.

نقطهٔ ماکزیمم نسبی داشته باشد که مشتق در آن برابر صفر باشد.
نقطهٔ مینیمم نسبی داشته باشد که تابع در آن نقطه پیوسته باشد ولی مشتق نداشته باشد.
نقطهٔ ماکزیمم نسبی داشته باشد که تابع در آن ناپیوسته باشد.
نقطه‌ای داشته باشد که اکسترمم نسبی نباشد ولی مشتق تابع در آن نقطه صفر باشد.

پاسخ

ابتدا برای هر شرط نقطه‌ای از نمودار را انتخاب می‌کنیم و سپس تابع را طوری رسم می‌کنیم که همهٔ آن‌ها را داشته باشد.

شرط اول: ماکزیمم نسبی با مشتق صفر. در \(x=-2\) نمودار به قله‌ای نرم می‌رسد و مماس در آن افقی است، یعنی \(f'(-2)=0\) و \(f(-2)=3\).

شرط دوم: مینیمم نسبی که تابع در آن پیوسته ولی مشتق‌ناپذیر است. در \(x=1\) نمودار یک گوشه دارد. شیب سمت چپ \(f'_-(1)=-6\) و شیب سمت راست \(f'_+(1)=3\) است. پس \(f'(1)\) وجود ندارد، اما \(f(1)=-6\) از مقادیر اطرافش کمتر است و \(x=1\) مینیمم نسبی است.

شرط سوم: ماکزیمم نسبی که تابع در آن ناپیوسته است. در \(x=3\) حد چپ تابع \(0\) است، اما \(f(3)=2\). مقادیر نزدیک \(3\) از سمت چپ کمتر از \(2\) و از سمت راست هم کمتر از \(2\) هستند، پس \(x=3\) ماکزیمم نسبی است و تابع در آن ناپیوسته است.

شرط چهارم: نقطه‌ای با مشتق صفر که اکسترمم نسبی نیست. در \(x=5\) داریم \(f'(5)=0\)، زیرا \(f'(x)=\dfrac{3(x-5)^2}{4}\). ولی تابع در دو طرف \(x=5\) صعودی است، پس \(x=5\) اکسترمم نسبی نیست.