جواب فعالیت صفحه ۱۱۵ حسابان (2)

الف) نقاط اکسترمم نسبی:
با توجه به تعریف ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی، باید نقطه‌ای را پیدا کنیم که مقدار تابع در آن از مقدارهای اطراف آن بزرگ‌تر یا کوچک‌تر باشد.

• نقطهٔ \(b\) با عرض \(3\): مینیمم نسبی است.
• نقطهٔ \(c\) با عرض \(9\): ماکزیمم نسبی است، چون نقاط سمت چپ آن مقدارهایی کمتر از \(9\) دارند و نقاط سمت راست آن حدود \(6\) هستند.
• نقطهٔ \(h\) با عرض \(5\): مینیمم نسبی است.
• نقطهٔ \(j\) با عرض \(12\): ماکزیمم نسبی است.
• نقطهٔ \(k\) با عرض \(7\): مینیمم نسبی است.
• نقطهٔ \(e\) با عرض \(12\): بالاترین نقطهٔ نمودار است و ماکزیمم نسبی هم به حساب می‌آید.

ب) نقاطی که مشتق در آنها وجود ندارد:

• در \(c\) و \(g\) نمودار پاره می‌شود (جای نقطهٔ توخالی و توپر فرق دارد)، پس مماس و مشتق وجود ندارد.
• در \(h\) نمودار به شکل یک گوشه است و خط مماس یکتا ندارد، پس مشتق وجود ندارد.

پ) نقاطی که مشتق در آنها صفر است:
خط‌های افقی قرمز رنگ نشان می‌دهند که مشتق در این نقاط صفر است. این نقاط \(b\)، \(i\)، \(j\) و \(k\) هستند.

ت) آیا در همهٔ نقاط اکسترمم نسبی مشتق وجود دارد؟
نه. در نقطهٔ \(c\) و نقطهٔ \(h\) که اکسترمم نسبی هستند، مشتق وجود ندارد.

ث) مقدار مشتق در اکسترمم‌های نسبی که مشتق دارند:
در نقطه‌های \(b\)، \(j\) و \(k\) مشتق وجود دارد و برابر صفر است. یعنی:
\[f'(b)=0,\quad f'(j)=0,\quad f'(k)=0\]

ج) آیا ممکن است مشتق در نقطه‌ای صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نسبی نباشد؟
بله. در نقطهٔ \(i\) خط مماس افقی است و مشتق صفر است، اما نمودار قبل و بعد از این نقطه صعودی است و \(i\) اکسترمم نسبی نیست.

چ) آیا ممکن است مشتق در نقطه‌ای وجود نداشته باشد ولی آن نقطه اکسترمم مطلق باشد؟
بله. تابع \(f(x)=|x|\) را در نظر بگیرید. در \(x=0\) مشتق وجود ندارد، ولی مقدار تابع در این نقطه \(0\) است و کوچک‌ترین مقدار تابع روی \(\mathbb{R}\) است. پس \(x=0\) مینیمم مطلق است.