جواب تمرین صفحه ۱۳۶ حسابان (2)

نمودار تابع را طوری رسم می‌کنم که در \(x=a\) (مبدأ، یعنی \(a=0\)) جهت تقعر عوض شود، اما نقطهٔ \((a,f(a))\) نقطهٔ عطف نباشد.

برای اینکه نقطهٔ \(a\) نقطهٔ عطف نباشد، باید شرط (الف) تعریف نقطهٔ عطف برقرار نباشد؛ یعنی منحنی در آن نقطه خط مماس نداشته باشد. پس در \(x=0\) یک «گوشه» (شکستگی) می‌سازم.

• برای \(x<0\): \(f(x)=-x^2\). در این بخش \(f''(x)=-2<0\)، پس تقعر رو به پایین است. در \(x=0\) از چپ داریم \(f'(0^-)=0\).
• برای \(x\geq 0\): \(f(x)=x^2+2x\). در این بخش \(f''(x)=2>0\)، پس تقعر رو به بالاست. در \(x=0\) از راست داریم \(f'(0^+)=2\).

چون \(f'(0^-)=0\neq 2=f'(0^+)\)، در \(x=0\) مشتق موجود نیست و منحنی خط مماس ندارد. اما جهت تقعر از پایین به بالا عوض شده است. پس \(a=0\) نقطهٔ عطف نیست.