جواب فعالیت صفحه ۲۹ حسابان (2)

حل:

الف) ابتدا مثلث‌های \(OPM\) و \(OAM'\) را در نظر می‌گیریم. نقطهٔ \(P\) پای عمود وارد از \(M\) بر محور کسینوس‌هاست، پس \(MP\) برابر \(\sin\alpha\) و \(OP\) برابر \(\cos\alpha\) است. همچنین \(OA=1\) (شعاع دایرهٔ مثلثاتی).

در دو مثلث قائم‌الزاویهٔ \(OPM\) (با زاویهٔ قائمه در \(P\)) و \(OAM'\) (با زاویهٔ قائمه در \(A\)) زاویهٔ \(O\) مشترک است، پس این دو مثلث با هم متشابه‌اند. در نتیجه نسبت اضلاع متناظر برابر است:

\[\frac{AM'}{MP} = \frac{OA}{OP}\]

با جای‌گذاری مقدارها:

\[AM' = \frac{MP \times OA}{OP} = \frac{\sin\alpha \times 1}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha\]

پس:

\[\tan\alpha = AM'\]

و چون \(M'\) روی خط مماس و نقطهٔ \(A\) به مختصات \((1,0)\) است، طول پاره‌خط \(AM'\) برابر عرض نقطهٔ \(M'\) یعنی \(b\) است. بنابراین:

\[\tan\alpha = AM' = b\]