جواب کار در کلاس صفحه ۳۲ حسابان (2)

با توجه به فعالیت صفحه‌های ۲۹ تا ۳۱ و جدول تغییرات تانژانت، مجموعهٔ داده‌شده را به سه بازهٔ پیوسته تقسیم می‌کنیم:

\[[0,2\pi]-\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\} = \left[0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]\]

در هر یک از این بازه‌ها، تغییرات تانژانت را بررسی می‌کنیم:

بازهٔ \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\): با افزایش α از \(0\) به سمت \(\frac{\pi}{2}\)، مقدار \(\tan\alpha\) از \(0\) تا \(+\infty\) بالا می‌رود. پس تابع در این بازه صعودی است.

بازهٔ \(\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\): این بازه شامل ربع دوم و ربع سوم است. در ربع دوم، با افزایش α از \(\frac{\pi}{2}\) به \(\pi\)، مقدار تانژانت از \(-\infty\) تا \(0\) زیاد می‌شود. در ربع سوم، با افزایش α از \(\pi\) به \(\frac{3\pi}{2}\)، مقدار تانژانت از \(0\) تا \(+\infty\) زیاد می‌شود. پس تابع در کل این بازه صعودی است.

بازهٔ \(\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]\): در ربع چهارم، با افزایش α از \(\frac{3\pi}{2}\) به \(2\pi\)، مقدار تانژانت از \(-\infty\) تا \(0\) زیاد می‌شود. پس تابع در این بازه صعودی است.

نتیجه: تابع \(y=\tan x\) در مجموعهٔ \([0,2\pi]-\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}\) روی هر سه بازهٔ بالا صعودی است. توجه کنید که چون مجموعه از چند بازهٔ جدا از هم تشکیل شده، نمی‌توان گفت تابع روی کل مجموعه صعودی است؛ تنها در هر بازه این حکم درست است.