جواب تمرین صفحه ۴۴ حسابان (2)

الف) \(\sin\frac{\pi}{2}=\sin 3x\)

\[\sin 3x=\sin\frac{\pi}{2} \Rightarrow \begin{cases} 3x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x=\dfrac{2k\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}, & k\in\mathbb{Z} \\ 3x=(2k+1)\pi-\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x=\dfrac{(2k+1)\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}, & k\in\mathbb{Z} \end{cases}\]

دو دسته جواب یکی هستند (هر دو برابر \(x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\) می‌شوند)، پس جواب کلی معادله:
\[x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}\]

ب) \(\cos 2x-\cos x+1=0\)

با استفاده از \(\cos 2x=2\cos^2x-1\):
\[2\cos^2x-1-\cos x+1=0 \Rightarrow 2\cos^2x-\cos x=0\]
\[\cos x(2\cos x-1)=0 \Rightarrow \cos x=0 \quad \text{یا} \quad \cos x=\frac{1}{2}\]

• \(\cos x=0 \Rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}\)
• \(\cos x=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow x=2k\pi\pm\dfrac{\pi}{3}\)

پ) \(\cos x=\cos 2x\)

\[\begin{cases} x=2k\pi+2x \Rightarrow x=-2k\pi \\ x=2k\pi-2x \Rightarrow 3x=2k\pi \Rightarrow x=\dfrac{2k\pi}{3} \end{cases}\]

مجموعهٔ \(-2k\pi\) داخل \(\dfrac{2k\pi}{3}\) است، پس جواب کلی:
\[x=\frac{2k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}\]

ت) \(\cos 2x-3\sin x+1=0\)

با استفاده از \(\cos 2x=1-2\sin^2x\):
\[1-2\sin^2x-3\sin x+1=0 \Rightarrow 2\sin^2x+3\sin x-2=0\]
با تغییر متغیر \(\sin x=t\): \(2t^2+3t-2=0 \Rightarrow t=\dfrac{-3\pm5}{4}\) یعنی \(t=\dfrac{1}{2}\) یا \(t=-2\).

\(\sin x=-2\) غیرممکن است. پس:
\[\sin x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6} \Rightarrow \begin{cases} x=2k\pi+\dfrac{\pi}{6} \\ x=(2k+1)\pi-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi+\dfrac{5\pi}{6} \end{cases},\quad k\in\mathbb{Z}\]

ث) \(\cos^2x-\sin x=\frac{1}{4}\)

با استفاده از \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\[1-\sin^2x-\sin x=\frac{1}{4} \Rightarrow 4\sin^2x+4\sin x-3=0\]
\[\sin x=t:\quad 4t^2+4t-3=0 \Rightarrow t=\frac{-4\pm8}{8} \Rightarrow t=\frac{1}{2} \quad \text{یا} \quad t=-\frac{3}{2}\]

چون \(-1\le\sin x\le1\)، جواب \(t=-\frac{3}{2}\) قابل قبول نیست. پس:
\[\sin x=\sin\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=2k\pi+\frac{\pi}{6}\quad \text{یا}\quad x=2k\pi+\frac{5\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}\]

ج) \(\sin x-\cos 2x=0\)

با استفاده از \(\cos 2x=1-2\sin^2x\):
\[\sin x-1+2\sin^2x=0 \Rightarrow 2\sin^2x+\sin x-1=0\]
\[(2\sin x-1)(\sin x+1)=0 \Rightarrow \sin x=\frac{1}{2} \quad \text{یا} \quad \sin x=-1\]

• \(\sin x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=2k\pi+\dfrac{\pi}{6}\) یا \(x=2k\pi+\dfrac{5\pi}{6}\)
• \(\sin x=-1=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow x=2k\pi-\dfrac{\pi}{2}\)

چ) \(\tan(2x-1)=0\)

\[\tan(2x-1)=\tan 0 \Rightarrow 2x-1=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi+1}{2},\quad k\in\mathbb{Z}\]

ح) \(\tan 3x=\tan \pi x\)

\[3x=k\pi+\pi x \Rightarrow (3-\pi)x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3-\pi},\quad k\in\mathbb{Z}\]