جواب بدون عنوان صفحه ۲۹ حسابان (2)

با توجه به فعالیت، تانژانت هر زاویه از برخورد امتداد ضلع دوم آن زاویه با محور تانژانت به دست می‌آید. یعنی اگر زاویهٔ \(\alpha\) را در دایرهٔ مثلثاتی در نظر بگیریم و خط \(OM\) را امتداد دهیم تا خط \(TAT'\) را در \(M'\) قطع کند، آنگاه \(\tan\alpha = AM'\) است. جهت مثبت محور تانژانت از پایین به بالاست، پس علامت \(\tan\alpha\) با علامت عرض نقطهٔ \(M'\) یکی است.

برای بررسی علامت، از تعریف \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) استفاده می‌کنیم. نقطهٔ \(M\) را با مختصات \((\cos\alpha,\ \sin\alpha)\) در نظر می‌گیریم. امتداد \(OM\) خط \(TAT'\) را در نقطه‌ای با طول \(1\) قطع می‌کند. پس نقطهٔ \(M'\) روی خط \(OM\) و به طول \(1\) است و عرض آن برابر \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) می‌شود.

• ربع اول: \(\sin\alpha>0\) و \(\cos\alpha>0\)، پس \(\tan\alpha>0\). نقطهٔ \(M'\) بالای \(A\) است.
• ربع سوم: \(\sin\alpha<0\) و \(\cos\alpha<0\)، پس \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}>0\). در این حالت امتداد \(OM\) از طرف دیگر دایره جدا می‌شود، ولی باز هم \(M'\) بالای \(A\) قرار می‌گیرد و \(\tan\alpha>0\).
• ربع دوم: \(\sin\alpha>0\) و \(\cos\alpha<0\)، پس \(\tan\alpha<0\). نقطهٔ \(M'\) زیر \(A\) است.
• ربع چهارم: \(\sin\alpha<0\) و \(\cos\alpha>0\)، پس \(\tan\alpha<0\). نقطهٔ \(M'\) زیر \(A\) است.

پس تانژانت زاویه‌هایی که انتهای کمانشان در ربع اول و سوم است مثبت، و در ربع دوم و چهارم منفی است. علت این است که در ربع‌های اول و سوم، \(\sin\alpha\) و \(\cos\alpha\) هم‌علامت‌اند و نسبت آن‌ها مثبت است، اما در ربع‌های دوم و چهارم علامت‌هایشان مخالف است و نسبت آن‌ها منفی می‌شود.