جواب فعالیت صفحه ۳۲ حسابان (2)

حل:

از نمودار ربع اول شروع می‌کنیم. در بازهٔ \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\) با افزایش \(x\)، مقدار \(\tan x\) از \(0\) زیاد می‌شود و وقتی \(x\) به \(\frac{\pi}{2}\) نزدیک می‌شود، \(\tan x\) به \(+\infty\) میل می‌کند. پس \(x=\frac{\pi}{2}\) خط مجانب قائم است.

برای رسم بقیهٔ ربع‌ها از تناوب تابع استفاده می‌کنیم. چون \(\tan(\pi+x)=\tan x\)، دورهٔ تناوب \(\pi\) است و نمودار در بازهٔ \(\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\) مانند بازهٔ \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) تکرار می‌شود.

• ربع دوم \(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\): مقدار \(\tan x\) از \(-\infty\) شروع می‌شود و تا \(0\) در \(x=\pi\) افزایش می‌یابد. نمودار صعودی است. مثلاً \(\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}\)، \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) و \(\tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).
• ربع سوم \(\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\): مقدار \(\tan x\) از \(0\) در \(x=\pi\) شروع می‌شود و تا \(+\infty\) زیاد می‌شود. مثلاً \(\tan\frac{5\pi}{4}=1\) و \(\tan\frac{4\pi}{3}=\sqrt{3}\).
• ربع چهارم \(\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\): مقدار \(\tan x\) از \(-\infty\) شروع می‌شود و تا \(0\) در \(x=2\pi\) افزایش می‌یابد. مثلاً \(\tan\frac{7\pi}{4}=-1\) و \(\tan\frac{11\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).

نمودار در هر ربع صعودی است و در خط‌های \(x=\frac{\pi}{2}\) و \(x=\frac{3\pi}{2}\) قطع می‌شود. به این ترتیب نمودار \(y=\tan x\) در بازهٔ \([0,2\pi]\) به شکل زیر است: