جواب کار در کلاس صفحه ۱۹ حسابان (2)

ابتدا \(f(x)\) را بر \(p(x)=x+2\) تقسیم می‌کنیم تا خارج‌قسمت \(q(x)\) و باقی‌مانده \(r(x)\) به دست آید.

چون \(x^4-16\) را می‌توان با اتحاد مزدوج تجزیه کرد، ابتدا آن را تجزیه می‌کنیم:

\[f(x)=x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)\]

و چون \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)، داریم:

\[f(x)=(x+2)(x-2)(x^2+4)\]

پس اگر قرار دهیم \(q(x)=(x-2)(x^2+4)\)، آنگاه:

\[f(x)=p(x)\,q(x)\]

برای بررسی، \(q(x)\) را بسط می‌دهیم:

\[q(x)=(x-2)(x^2+4)=x^3+4x-2x^2-8=x^3-2x^2+4x-8\]

و در تساوی \(f(x)=p(x)q(x)+r(x)\) داریم:

\[x^4-16=(x+2)(x^3-2x^2+4x-8)+r(x)\]

با ضرب کردن سمت راست:

\[(x+2)(x^3-2x^2+4x-8)=x^4-2x^3+4x^2-8x+2x^3-4x^2+8x-16=x^4-16\]

بنابراین \(r(x)=0\).

چون باقی‌مانده تقسیم برابر صفر شد، \(f(x)=x^4-16\) بر \(p(x)=x+2\) بخش‌پذیر است.