جواب فعالیت صفحه ۱۹ حسابان (2)

الف) درجه‌ی چندجمله‌ای \(p(x)=2x-1\) برابر \(1\) است. طبق قضیه‌ی تقسیم، باقی‌مانده \(r(x)\) یا صفر است یا درجه‌ی آن از درجه‌ی \(p(x)\) کمتر است. یعنی:

\[r(x)=0 \quad \text{یا} \quad \deg r(x) < 1\]

پس \(r(x)\) یک عدد ثابت است. درجه‌ی عدد ثابت صفر است. بنابراین \(r(x)\) از درجه‌ی صفر است.

ب) ابتدا ریشه‌ی \(p(x)=2x-1\) را به‌دست می‌آوریم:

\[2x-1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{1}{2}\]

رابطه‌ی داده‌شده را در نظر می‌گیریم:

\[f(x)=(2x-1)\,q(x)+r(x)\]

حالا \(x=\frac{1}{2}\) را در این رابطه قرار می‌دهیم. چون \(2\cdot\frac{1}{2}-1=0\)، جمله‌ی \((2x-1)q(x)\) برابر صفر می‌شود:

\[f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(2\cdot\frac{1}{2}-1\right)q\left(\frac{1}{2}\right)+r\left(\frac{1}{2}\right)\]

\[f\left(\frac{1}{2}\right)=0\cdot q\left(\frac{1}{2}\right)+r\left(\frac{1}{2}\right)=r\left(\frac{1}{2}\right)\]

از طرفی \(r(x)\) عدد ثابت است، پس \(r\left(\frac{1}{2}\right)=r(x)\). در نتیجه:

\[r(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)\]

برای بررسی، مقدار \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) را حساب می‌کنیم:

\[f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3+2=\frac{1}{8}+2=\frac{17}{8}\]

پس \(r(x)=\frac{17}{8}\).

نتیجه‌ی کلی: اگر چندجمله‌ای \(f(x)\) بر \(p(x)=ax+b\) تقسیم شود، باقی‌مانده برابر است با \(f\left(-\frac{b}{a}\right)\)، یعنی مقدار \(f(x)\) در ریشه‌ی \(p(x)\).