جواب فعالیت صفحه ۱۱۶ حسابان (2)

الف) بازه‌های بسته

از روی نمودار، تابع روی هر بازهٔ بستهٔ داده‌شده پیوسته است و طبق قضیهٔ مربوط به بازهٔ بسته، ماکزیمم و مینیمم مطلق وجود دارند. برای پیدا کردن آن‌ها، ابتدا جهت صعود و نزول تابع را در هر بازه می‌بینیم و سپس بالاترین و پایین‌ترین نقطه را مشخص می‌کنیم.

• \([16,20]\): تابع از \(x=16\) تا \(x=20\) پیوسته صعودی است. پس

\[f(16)=\text{مینیمم مطلق}, \qquad f(20)=\text{ماکزیمم مطلق}\]

• \([10,13]\): تابع از \(x=10\) تا قلهٔ \(x=12\) صعودی و از \(x=12\) تا \(x=13\) نزولی است. پس

\[f(12)=\text{ماکزیمم مطلق}, \qquad f(10)=\text{مینیمم مطلق}\]
زیرا \(f(10)\) از \(f(13)\) کوچک‌تر است.

• \([13,15]\): تابع نزولی است. پس

\[f(13)=\text{ماکزیمم مطلق}, \qquad f(15)=\text{مینیمم مطلق}\]

• \([5,10]\): تابع از \(x=5\) تا \(x=9\) نزولی و از \(x=9\) تا \(x=10\) صعودی است. پس

\[f(5)=\text{ماکزیمم مطلق}, \qquad f(9)=\text{مینیمم مطلق}\]

• \([-1,0]\): تابع صعودی است (چون قلهٔ اصلی در \(x=1\) است). پس

\[f(0)=\text{ماکزیمم مطلق}, \qquad f(-1)=\text{مینیمم مطلق}\]

ب) بازه‌های باز

در بازهٔ باز، نقاط دو سر بازه شامل نمی‌شوند. بنابراین باید ببینیم آیا بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین مقدار در خود بازه قرار دارد یا نه.

• \((16,20)\): تابع اکیداً صعودی است و مقدارهای آن به \(f(16)\) و \(f(20)\) نزدیک می‌شوند ولی به آن‌ها نمی‌رسند. پس ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق وجود ندارند.

• \((10,13)\): قلهٔ \(x=12\) داخل بازه است، پس ماکزیمم مطلق برابر \(f(12)\) وجود دارد. مقدار \(f(10)\) در بازه نیست، بنابراین مینیمم مطلق وجود ندارد.

• \((13,15)\): تابع اکیداً نزولی است و به \(f(13)\) و \(f(15)\) نمی‌رسد. پس ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق وجود ندارند.

• \((5,10)\): کمینهٔ \(x=9\) داخل بازه است، پس مینیمم مطلق برابر \(f(9)\) وجود دارد. مقدار \(f(5)\) در بازه نیست، بنابراین ماکزیمم مطلق وجود ندارد.

• \((-1,0)\): تابع اکیداً صعودی است و به \(f(-1)\) و \(f(0)\) نمی‌رسد. پس ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق وجود ندارند.