مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
فصل پنجم : کاربردهای مشتق 117با توجه به آنچه تا به حال مالحظه کردیم، اکسترمم های مطلق تابع در نقاطی اتفاق می‌افتد که مشتق تابع در آن نقاط برابر صفرباشد و یا تابع در آن نقاط مشتق پذیر نباشد. به چنین نقاطی، نقاط بحرانی تابع می‌گوییم.تعریف: فرض کنیم D f ∈ .c ٔ نقطه به طول c را یک ٔ نقطه بحرانی برای تابع f می‌نامیم، هرگاه (c) ′ f برابر صفر باشد ویا (c) ′ f موجود نباشد.برای یافتن نقاط اکسترمم مطلق ابتدا این نقاط بحرانی را مشخص می‌نماییم. در این صورت از بین تمام نقاط بحرانی و نقاطانتهایی بازه، نقطه یا نقاطی که بیشترین مقدار تابع در آنها اتفاق می‌افتد نقاط ماکزیمم مطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدارماکزیمم مطلق تابع است. همچنین در بین نقاط مذکور نقطه یا نقاطی که کمترین مقدار تابع در آنها اتفاق می‌افتد نقاط مینیمممطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدار مینیمم مطلق تابع است.مثال: اکسترمم های مطلق تابع x − 3 1 x 3 = f(x) را در ٔ بازه 2[, ]-2 بیابید.حل: بنابر آنچه گفته شد باید نقاط بحرانی، یعنی نقاطی که مشتق در آنها وجود ندارد یا برابر صفر است را مشخص نماییم.بنابراین باید در ٔ بازه 2[, ]-2 به دنبال نقاطی باشیم که تابع در آنها مشتق نداشته باشد و یا مشتق در آنها برابر صفر باشد. اما fدر تمام ٔ بازه (-2, 2) مشتق پذیر است و داریم = x 2 - 1 (x) ′ f و مقدار ′ f در 1 ± x = برابر صفر می‌شود یعنی داریم = 0 (1) ′ fو 0 = (-1) ′ f .4321x 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4-1-2-3-4بنابراین 1 ± x = و 2 ± x = طول نقاط بحرانی هستند و از آنجا که داریم:2 3 = 3 2 f(2) − = 1 (= 3 2 f) 1 (−) f 2 3 − = 2 (−) fلذا مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع بر این بازه به ترتیب برابر 3 2 و 3 2 − و نقاط ماکزیمم نقاط به طول x = -1 و x = 2 و نقاطمینیمم نقاط به طول x = 1 و x = -2 است.