جواب کار در کلاس صفحه ۳۷ حسابان (2)

الف) \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\)

ابتدا معادله را به شکل \(\sin x =\) عدد بازنویسی می‌کنیم:

\[2\sin x = \sqrt{3}\]
\[\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

می‌دانیم \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) پس:

\[\sin x = \sin\frac{\pi}{3}\]

با توجه به رابطهٔ جواب‌های کلی \(\sin x = \sin\alpha\) که \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) است:

\[\begin{cases} x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} , & k \in \mathbb{Z} \\ x = (2k+1)\pi - \dfrac{\pi}{3} = 2k\pi + \dfrac{2\pi}{3} , & k \in \mathbb{Z} \end{cases}\]

ب) \(4\sin x + \sqrt{8} = 0\)

ابتدا معادله را به شکل \(\sin x =\) عدد بازنویسی می‌کنیم. چون \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) است، داریم:

\[4\sin x = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}\]
\[\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

می‌دانیم \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) پس \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) و داریم:

\[\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\]

با \(\alpha = -\dfrac{\pi}{4}\) جواب‌های کلی را می‌نویسیم:

\[\begin{cases} x = 2k\pi - \dfrac{\pi}{4} , & k \in \mathbb{Z} \\ x = (2k+1)\pi + \dfrac{\pi}{4} = 2k\pi + \dfrac{5\pi}{4} , & k \in \mathbb{Z} \end{cases}\]