جواب تمرین صفحه ۱۴۴ حسابان (2)

الف) \(f(x)=2x^2-4x+1\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}\) و تابع در تمام دامنه پیوسته و مشتق‌پذیر است.

محل برخورد با محورها:
\[x=0 \Rightarrow y=1 \rightarrow (0,1)\]
\[f(x)=0 \Rightarrow 2x^2-4x+1=0 \Rightarrow x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\]

مشتق اول و نقطهٔ بحرانی:
\[f'(x)=4x-4=0 \Rightarrow x=1\]

مشتق دوم:
\[f''(x)=4>0\]
بنابراین \(x=1\) طول مینیمم نسبی است و \(f(1)=-1\). تابع همواره تقعر رو به بالا دارد و نقطهٔ عطف ندارد.

رفتار در بی‌نهایت: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\)

ب) \(f(x)=x^3-5x+5\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}\) و تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است.

محل برخورد با محور y: \(x=0 \Rightarrow y=5 \rightarrow (0,5)\)

مشتق اول:
\[f'(x)=3x^2-5=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\approx \pm 1/29\]
\[f(-1/29)\approx 9/3,\qquad f(1/29)\approx 0/7\]

مشتق دوم:
\[f''(x)=6x=0 \Rightarrow x=0,\quad f(0)=5\]
چون \(f''\) در \(x=0\) تغییر علامت می‌دهد و مماس وجود دارد، نقطهٔ \((0,5)\) نقطهٔ عطف است.

رفتار در بی‌نهایت: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)

پ) \(f(x)=-x(x+2)^2\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}\) و تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است.

محل برخورد با محورها:
\[x=0 \Rightarrow y=0 \rightarrow (0,0)\]
\[f(x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ یا } x=-2 \rightarrow (-2,0)\]

مشتق اول:
\[f'(x)=-(x+2)^2-2x(x+2)=-(x+2)(3x+2)\]
\[f'(x)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ یا } x=-\frac{2}{3}\]
\[f(-2)=0,\qquad f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{32}{27}\]

مشتق دوم:
\[f''(x)=-(6x+8)=-2(3x+4)=0 \Rightarrow x=-\frac{4}{3},\quad f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{16}{27}\]

رفتار در بی‌نهایت: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\)

ت) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-2}\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\)

محل برخورد با محورها:
\[x=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2} \rightarrow \left(0,\frac{1}{2}\right),\qquad y=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \rightarrow \left(\frac{1}{2},0\right)\]

مجانب‌ها:
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{x-2}=2 \Rightarrow y=2 \text{ مجانب افقی است.}\]
\[\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty \Rightarrow x=2 \text{ مجانب قائم است.}\]

مشتق اول:
\[f'(x)=\frac{2(x-2)-(2x-1)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}\]
مشتق به ازای هر \(x\neq 2\) منفی است، پس تابع در هر یک از بازه‌های \((-\infty,2)\) و \((2,+\infty)\) نزولی است.

مشتق دوم:
\[f''(x)=\frac{6}{(x-2)^3}\]
برای \(x<2\) منفی است (تقعر رو به پایین) و برای \(x>2\) مثبت است (تقعر رو به بالا).

ث) \(f(x)=\dfrac{-x}{x+3}\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}-\{-3\}\)

محل برخورد با محورها: \(x=0 \Rightarrow y=0 \rightarrow (0,0)\)

مجانب‌ها:
\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x}{x+3}=-1 \Rightarrow y=-1 \text{ مجانب افقی است.}\]
\[\lim_{x\to-3^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-3^+}f(x)=+\infty \Rightarrow x=-3 \text{ مجانب قائم است.}\]

مشتق اول:
\[f'(x)=\frac{-(x+3)+x}{(x+3)^2}=\frac{-3}{(x+3)^2}\]
مشتق همواره منفی است، پس تابع در هر یک از بازه‌های \((-\infty,-3)\) و \((-3,+\infty)\) نزولی است.

مشتق دوم:
\[f''(x)=\frac{6}{(x+3)^3}\]
برای \(x<-3\) منفی و برای \(x>-3\) مثبت است.

ج) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+1\)

دامنه: \(D_f=\mathbb{R}\) و تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است.

محل برخورد با محور y: \(x=0 \Rightarrow y=1 \rightarrow (0,1)\)

مشتق اول:
\[f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1 \text{ یا } x=2\]
\[f(1)=6,\qquad f(2)=5\]

مشتق دوم:
\[f''(x)=12x-18=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2},\quad f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}\]
\(f''\) در \(x=\frac{3}{2}\) تغییر علامت می‌دهد، پس \(\left(\frac{3}{2},\frac{11}{2}\right)\) نقطهٔ عطف است.

رفتار در بی‌نهایت: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)