جواب کار در کلاس صفحه ۱۲۱ حسابان (2)

الف) خیر، نمی‌توان چنین گفت. تابع را در نظر بگیرید:
\[f(x)=\begin{cases} 2x & x \geq 1 \\ x & x < 1 \end{cases}\]
این تابع در \(\mathbb{R}\) صعودی اکید است، زیرا برای \(x_1<x_2<1\) داریم \(f(x_1)=x_1<x_2=f(x_2)\)، برای \(1\le x_1<x_2\) داریم \(f(x_1)=2x_1<2x_2=f(x_2)\) و برای \(x_1<1\le x_2\) داریم \(f(x_1)=x_1<1\le 2x_2=f(x_2)\).

اما در نقطهٔ \(x=1\) مشتق‌پذیر نیست، زیرا:
\[f'_-(1)=\lim_{x\to 1^-}\frac{x-1}{x-1}=1 \qquad f'_+(1)=\lim_{x\to 1^+}\frac{2x-2}{x-1}=2\]
و چون \(f'_-(1)\ne f'_+(1)\)، تابع در \(x=1\) مشتق ندارد.

ب) خیر، نمی‌توان چنین گفت. مثلاً تابع \(g(x)=x^3\) در \(\mathbb{R}\) صعودی اکید و مشتق‌پذیر است، اما \(g'(x)=3x^2\) و در \(x=0\) برابر صفر می‌شود. پس مشتق در همهٔ نقاط بازه مثبت نیست. بنابراین مشتق تابع صعودی اکید می‌تواند در بعضی نقاط صفر باشد.