مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
فصل پنجم : کاربردهای مشتق 119چون V روی 4[, ]0 پیوسته است، پس دارای اکسترمم های مطلق در این بازه است و داریم:0 = 120 + x 92 - 2 x 12 = (x) ′ V6 = x یا 5 3 = x ⇒ 0 = (3 x - 5)(x - 6)اما x = 6 در بازه مورد نظر قرار ندارد، پس قابل قبول نیست x = 0 و x = 4 و x = 3 5 نقاط بحرانی تابع هستند. از طرفی = 0 V(0) ،0 > V(5 3) و = 0 V(4) نشان می‌دهد که ماکزیمم مطلق تابع در x = 3 5 حاصل می‌شود و لذا طول ضلع مربع های مورد نظر باید3 5 اینچ باشد.مثال: در کره ای به شعاع R یک استوانه محاط کرده ایم. شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را طوری به دست آورید که حجماستوانه، بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.حل: فرض کنیم استوانه مورد نظر دارای شعاع قاعده r و ارتفاع h باشد. اگر O مرکز کره باشد، در مثلث قائم الزاویه OAB ،OB = h 2 و داریم:OA = 2 OB + 2 ABبنابراین 2 R = 2 h + 2 r . R4B rحجم این استوانه برابر است با: A2R ≤ h ≤ 0 ; 3 h π 4 − h 2 R π = V(h) ⇒ h h 4 2 (− 2 R) π = h 2 r π = Vبرای یافتن نقاط بحرانی این تابع در بازه R[0, 2] ، ریشه های مشتق را به دست می‌آوریم:R 2 = h 0 = ⇒ 2 h π 3 − 2 R π = (h) ′ Vاز طرفی 0 = (0 V) و 0 = R(2) V 3 4بنابراین تابع V به ازای h = 2 R ، بیشترین مقدار حجم را دارد. با توجه به اینکه r 2 + h 4 2 = R 2 ، مقدار r برابر با r = 2 Rمی‌باشد. 3 3