مثال نقض و اثبات مستقیم-1

انواع روش استدلال و اثبات:

• مثال نقض:

   مثالی که نشان می‌دهد یک حکم کلی یا یک ادعا نادرست است را مثال نقض می‌گوییم. در مثال نقض فرض مسئله برقرار است اما حکم مسئله در مثال ارائه شده صادق نیست.

  توجه داشته باشید از مثال نقض و به طور کلی مثال‌ها  تنها برای رد ادعا استفاده می‌شود و نمی‌توان با آن درستی یک گزاره را اثبات کرد.

  برای رد یک ادعا یا حکم فقط کافی است یک مثال بیابیم که آن حکم را رد کند.

  مثال: n=5 مثال نقضی برای حکم «عدد \(2^{2^{n}}+1\) به ازای همه اعداد طبیعی n، عددی اول است» است.

  سوال کنکور:

  کدام عدد کلیت حکم: "هر عدد طبیعی را می‌توان به صورت مجموع چند عدد طبیعی متوالی نوشت" را نقض می‌کند؟ سراسری/1392

1. 56

2. 64

3. 72

4. 74

پاسخ: گزینه 2

اعدادی که فرم \( 2^n \) دارند را نمی‌توانیم به صورت مجموع چند عدد متوالی بنویسیم.

پس، عدد 64 کلیت این حکم را نقض می‌کند. 

باقی گزینه ها را بررسی می‌کنیم: \[56 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 \]\[ 72 = 23 + 24 + 25 \] \[74 = 17 + 18 + 19 + 20\]

• اثبات مستقیم:

   در این روش با استفاده از حقایق(قضایای اثبات شده، تعاریف و ...) از  فروض مسأله به نتیجه و حکم سؤال می‌رسیم.

مثال: در اثبات گزاره «مجموع هر دو عدد فرد، عددی زوج است.» که در پایین آ»ده است مستقیما از فرض مسأله به حکم آن رسیدیم.

\[\begin{matrix}a = 2k+1 \\b=2q+1\end{matrix}\implies a+b=2k+1+2q+1=2k+2q+2=2(k+q+1)\]