جواب فعالیت صفحه ۱۳۷ ریاضی (1)

حل :

با تعبیر \(\binom{n}{r}\) به‌عنوان تعداد زیرمجموعه‌های \(r\) عضوی از یک مجموعهٔ \(n\) عضوی:

• \(\binom{n}{1}\): زیرمجموعه‌های یک‌عضوی از مجموعهٔ \(n\) عضوی، همان تک‌عضوی‌هایی هستند که از هر عضو مجموعه می‌توان ساخت. پس تعداد آن‌ها برابر \(n\) است؛ یعنی \(\binom{n}{1}=n\).
• \(\binom{n}{0}\): تنها زیرمجموعهٔ بدون عضو، مجموعهٔ تهی \(\varnothing\) است. پس \(\binom{n}{0}=1\).

با فرمول:

\[\binom{n}{1}=\frac{n!}{(n-1)!\,1!}=\frac{n\times(n-1)!}{(n-1)!\times 1}=n\]

\[\binom{n}{0}=\frac{n!}{(n-0)!\,0!}=\frac{n!}{n!\times 1}=1\]

نتیجه: \(\binom{n}{1}=n\) و \(\binom{n}{0}=1\).