جواب تمرین صفحه ۸۴ هندسه 3

هندسه 3

هندسه 3 | درس دوم: ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها

صفحه ۸۴

سؤال 1

۱ـ برای هر یک از بردارهای \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) که در زیر آمده است تصویر قائم \(\vec{b}\) را بر امتداد \(\vec{a}\) به‌دست آورید.

الف) \(\vec{b}=\vec{i}\)، \(\vec{a}=(2,-1,2)\)

ب) \(\vec{b}=(3,2,1)\)، \(\vec{a}=(2,3,1)\)

پ) \(\vec{b}=(-1,2,4)\)، \(\vec{a}=(1,1,0)\)

پاسخ

با فرمول تصویر قائم که در صفحه ۸۰ آمده، تصویر بردار \(\vec{b}\) بر امتداد \(\vec{a}\) برابر است با:

\[\vec{b}'=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}\]

الف) \(\vec{b}=\vec{i}=(1,0,0)\) و \(\vec{a}=(2,-1,2)\)

\[\vec{b}\cdot\vec{a}=2\times1+(-1)\times0+2\times0=2\]
\[|\vec{a}|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9\]
\[\vec{b}'=\frac{2}{9}(2,-1,2)=\left(\frac{4}{9},-\frac{2}{9},\frac{4}{9}\right)\]

ب) \(\vec{b}=(3,2,1)\) و \(\vec{a}=(2,3,1)\)

\[\vec{b}\cdot\vec{a}=3\times2+2\times3+1\times1=13\]
\[|\vec{a}|^2=2^2+3^2+1^2=14\]
\[\vec{b}'=\frac{13}{14}(2,3,1)=\left(\frac{13}{7},\frac{39}{14},\frac{13}{14}\right)\]

پ) \(\vec{b}=(-1,2,4)\) و \(\vec{a}=(1,1,0)\)

\[\vec{b}\cdot\vec{a}=(-1)\times1+2\times1+4\times0=1\]
\[|\vec{a}|^2=1^2+1^2+0^2=2\]
\[\vec{b}'=\frac{1}{2}(1,1,0)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\]