جواب فعالیت صفحه ۶۷ هندسه 3

هندسه 3

هندسه 3 | درس اول: معرفی فضای \( \mathbb{R}^3 \)

صفحه ۶۷

سؤال 1

در مثال قبل دیدیم که نمودار مربوط به معادله \(x=0\) در \(\mathbb{R}^3\) تمام نقاط صفحهٔ \(yz\) است (به عبارتی \(x=0\) معادلهٔ صفحهٔ \(yz\) است) و دیدیم که نقاط مختلفی با \(y\) و \(z\) های دلخواه (مؤلفه‌های دوم و سوم دلخواه) وجود دارند که در این معادله صدق می‌کنند. حال اگر در بین تمام نقاط صفحهٔ \(yz\) به دنبال نقاطی باشیم که مؤلفه سوم آنها نیز برابر صفر باشد؛ یعنی علاوه بر \(x=0\) شرط \(z=0\) را نیز داشته باشیم چه شکلی خواهیم داشت؟ (با در نظر گرفتن صفحهٔ \(yz\) سعی کنید نقاطی از این صفحه را تصور کنید که برای آنها \(z=0\) باشد.)

۱ـ مختصات چند نقطه را که در رابطه
\[\begin{cases} x=0 \\ z=0 \end{cases}\]
صدق کنند را مشخص کنید و مکان آنها را در دستگاه مختصات تعیین نمایید.

پاسخ

ابتدا نقاطی را پیدا می‌کنیم که هم در معادله \(x=0\) و هم در معادله \(z=0\) صدق کنند. برای این کار باید مؤلفه اول و مؤلفه سوم هر نقطه برابر صفر باشد، اما مؤلفه دوم یعنی \(y\) آزاد است:

\[\begin{cases} x=0 \\ z=0 \end{cases} \Rightarrow (0,y,0)\]

چند نقطه از این مجموعه:

\[(0,-2,0),\quad (0,0,0),\quad (0,1,0),\quad (0,2,0)\]

این نقاط روی محور \(y\)ها قرار دارند. نقطه \((0,0,0)\) همان مبدأ مختصات \(O\) است. هر نقطه \((0,y,0)\) روی محور \(y\) است، چون مؤلفه‌های \(x\) و \(z\) آن صفر است و فقط مؤلفه \(y\) تغییر می‌کند.