جواب بدون عنوان صفحه ۸۶ هندسه 3

در متوازی‌الاضلاع \(ABCD\) دو ضلع مقابل \(AB\) و \(CD\) موازی و هم‌اندازه‌اند و جهت آن‌ها مخالف یکدیگر است، پس \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}\). بنابراین:
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{o}\]
با جای‌گذاری در تساوی به‌دست آمده در اثبات داریم:
\[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\]

حال فرض کنید \(M\) وسط پاره‌خط \(AC\) و \(N\) وسط پاره‌خط \(BD\) باشد. برای هر نقطه‌ی مبدأ، مجموع بردار دو سر یک پاره‌خط برابر دو برابر بردار وسط آن است، یعنی:
\[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM},\qquad \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{ON}\]
پس از تساوی بالا نتیجه می‌شود:
\[2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\]
یعنی نقطه‌های \(M\) و \(N\) بر هم منطبق‌اند. بنابراین قطرهای \(AC\) و \(BD\) در یک نقطه‌ی مشترک \(M\) یکدیگر را قطع می‌کنند. چون دو قطر متوازی‌الاضلاع یکدیگر را فقط در یک نقطه قطع می‌کنند، این نقطه همان نقطه‌ی \(O\) است. پس:
\[AO=OC,\qquad BO=OD\]
و قطرهای متوازی‌الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند. ∎