جواب کار در کلاس صفحه ۷۴ هندسه 3

ابتدا هر نقطه را به‌عنوان نوک بردار از مبدأ در نظر می‌گیریم:

\[\vec{a}=(2,3,1),\quad \vec{b}=(-1,2,2),\quad \vec{c}=(3,4,0),\quad \vec{d}=(1,0,-1)\]

بردارهای \(\vec{a}\)، \(\vec{b}\)، \(\vec{c}\) و \(\vec{d}\) را از مبدأ \(O=(0,0,0)\) رسم می‌کنیم و هر کدام را به نوک نقطه‌ٔ متناظرش ختم می‌کنیم (شکل زیر).

الف) با توجه به تعریف حاصل‌جمع و ضرب عدد در بردار:

\[\vec{a}+2\vec{b}=(2,3,1)+2(-1,2,2)=(2,3,1)+(-2,4,4)=(0,7,5)\]

ب) ابتدا \(\vec{b}+\vec{c}\) را به‌دست می‌آوریم:

\[\vec{b}+\vec{c}=(-1+3,\;2+4,\;2+0)=(2,6,2)\]

سپس:

\[\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(2,3,1)+(2,6,2)=(4,9,3)\]

پ) ابتدا \(\vec{a}+\vec{b}\) را به‌دست می‌آوریم:

\[\vec{a}+\vec{b}=(2-1,\;3+2,\;1+2)=(1,5,3)\]

سپس:

\[(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(1,5,3)+(3,4,0)=(4,9,3)\]

همان‌طور که دیده می‌شود، نتیجه‌ٔ بخش ب و پ یکسان است. یعنی در جمع بردارها ترتیب گروه‌بندی تأثیری ندارد.

ت) ابتدا \(\vec{b}+\vec{c}=(2,6,2)\) را داریم، پس:

\[-2(\vec{b}+\vec{c})=-2(2,6,2)=(-4,-12,-4)\]

ث) ابتدا هر بردار را در \(-2\) ضرب می‌کنیم:

\[-2\vec{b}=-2(-1,2,2)=(2,-4,-4),\qquad -2\vec{c}=-2(3,4,0)=(-6,-8,0)\]

سپس جمع می‌کنیم:

\[-2\vec{b}-2\vec{c}=(2,-4,-4)+(-6,-8,0)=(-4,-12,-4)\]

این نتیجه با بخش ت یکسان است. یعنی \(-2(\vec{b}+\vec{c})=-2\vec{b}-2\vec{c}\).